La théorie simplifiée des fonctions tensorielles

Le but de cette théorie est de mettre en relief l'anisotropie d'une manière simple et de pouvoir traiter le milieu avec les techniques mises au point dans le cas isotrope. Boehler [BOE75] introduit un tenseur transformé $\overline{\boldsymbol T}$ défini par :

$$\overline{\boldsymbol T} = \boldsymbol A \cdot \boldsymbol T$$ (4.29.1)

où $\boldsymbol A$ est un tenseur du quatrième ordre dont les composantes représentent certains coefficients d'anisotropie du milieu. Ce tenseur vérifie les symétries suivantes :

$$A_{ijkl} = A_{klij} = A_{jikl} = A_{ijlk}$$

Considérons une relation linéaire isotrope entre les tenseurs $\overline{\boldsymbol T}$ et $\boldsymbol{D}$ :

$$\overline{\boldsymbol T} = \phi_0 \boldsymbol{I} + \phi_1 \bolds... ...uad \phi_i = \phi_i(tr(\boldsymbol D),tr(\boldsymbol D^2),tr(\boldsymbol D^3))$$ (4.29.2)

Cette équation (4.5.2) combinée à la condition d'homogénéité de degré zéro par rapport au temps^4.1 permet^4.2 d'obtenir le critère suivant :

$$F(tr(\overline{\boldsymbol T}),tr( \overline{\boldsymbol T}^2),tr(\overline{\boldsymbol T}^3))=0$$ (4.29.3)

La forme du critère donnée dans l'équation 4.5.3 est isotrope dans cet espace transformé. La transformation inverse pour revenir à l'espace initial donne alors un critère anisotrope. Ainsi, il est possible d'établir un critère de plasticité anisotrope à partir d'une relation isotrope.