Expression de la loi de Hooke

Pour cette partie, on se place dans le cas de l'élasticité linéaire. Dans ces conditions, il existe une relation bi-univoque entre la contrainte (de CAUCHY) et la déformation élastique donnée par l'équation (3.3.1).

$$\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\Lambda}^{el}:\boldsymbol{\varepsilon}^{el}$$ (3.19.1)

On note que le tenseur $\boldsymbol{\Lambda}^{el}$ est d'ordre 4 et ne dépend ni de $\boldsymbol \sigma$ ni de $\boldsymbol \varepsilon$. Les composantes de ce tenseur $\boldsymbol \Lambda ^{el}$ sont souvent exprimées en fonction de $E$ et $\nu$, appelés les modules de l'ingénieur. L'élasticité isotrope correspond à une même réponse du matériau considéré, quelque soit la direction de sollicitation.La forme tensorielle est :

$$\boldsymbol \sigma = \lambda tr( \boldsymbol \varepsilon) \boldsymbol I + 2 \mu \boldsymbol \varepsilon$$ (3.19.2)

Les relations entre les modules de l'ingénieur et les coefficients de l'expression (3.3.2) sont les suivantes :

$$\lambda = \frac{E \nu}{(1 + \nu)(1 - 2 \nu)}$$ (3.19.3)

$$\mu = \frac{E}{2 (1 + \nu)}$$ (3.19.4)

L'avantage de cette écriture est de pouvoir déterminer le potentiel par intégration de l'expression (3.3.2) dont le résultat est :

$$W = \frac{1}{2} \lambda tr^2(\boldsymbol \varepsilon) + \mu tr(\boldsymbol \varepsilon ^2),%% = \frac{1}{2} \varepsilon_{eq}^2,$$ (3.19.5)