next up previous contents
suivant: Les modules de l'ingénieur monter: Élasticité linéaire isotrope précédent: Élasticité linéaire isotrope   Table des matières

Expression de la loi de Hooke

Pour cette partie, on se place dans le cas de l'élasticité linéaire. Dans ces conditions, il existe une relation bi-univoque entre la contrainte (de CAUCHY) et la déformation élastique donnée par l'équation (3.3.1).

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\Lambda}^{el}:\boldsymbol{\varepsilon}^{el}$ (3.19.1)

On note que le tenseur $ \boldsymbol{\Lambda}^{el}$ est d'ordre 4 et ne dépend ni de $ \boldsymbol \sigma$ ni de $ \boldsymbol \varepsilon$. Les composantes de ce tenseur $ \boldsymbol \Lambda ^{el}$ sont souvent exprimées en fonction de $ E$ et $ \nu$, appelés les modules de l'ingénieur. L'élasticité isotrope correspond à une même réponse du matériau considéré, quelque soit la direction de sollicitation.La forme tensorielle est :

$\displaystyle \boldsymbol \sigma = \lambda tr( \boldsymbol \varepsilon) \boldsymbol I + 2 \mu \boldsymbol
 \varepsilon$ (3.19.2)

Les relations entre les modules de l'ingénieur et les coefficients de l'expression (3.3.2) sont les suivantes :

$\displaystyle \lambda = \frac{E \nu}{(1 + \nu)(1 - 2 \nu)}$ (3.19.3)

$\displaystyle \mu = \frac{E}{2 (1 + \nu)}$ (3.19.4)

L'avantage de cette écriture est de pouvoir déterminer le potentiel par intégration de l'expression (3.3.2) dont le résultat est :

$\displaystyle W = \frac{1}{2} \lambda tr^2(\boldsymbol \varepsilon) + \mu
 tr(\boldsymbol \varepsilon ^2),%% = \frac{1}{2} \varepsilon_{eq}^2,
$ (3.19.5)


next up previous contents
suivant: Les modules de l'ingénieur monter: Élasticité linéaire isotrope précédent: Élasticité linéaire isotrope   Table des matières
FRACHON Arnaud 2002-11-12