Relations et restrictions sur les modules

Dans le plan d'isotropie du comportement orthotrope transverse, il est possible de définir un module de cisaillement ($G_{TT}$) à partir du module d'YOUNG ($E_T$) et du coefficient de POISSON ($\nu_{TT}$) dans ce plan. Ce module de cisaillement est alors donné par :

$$G_{TT} = \frac{E_T}{2(1+ \nu_{TT})}$$

Il est également possible de définir un module de compression latérale $K_L$ correspondant à un module volumique projeté dans le plan d'isotropie.

$$K_L = \frac{E_T}{2(1-\nu_{TT}-2 \nu_{LT} \nu_{TL})}$$

Par ailleurs, il existe une relation entre les coefficients de POISSON $\nu_{LT}$, $\nu_{TL}$ et les modules d'YOUNG $E_T$, $E_L$ donnée par :

$$\frac{E_L}{\nu_{LT}} = \frac{E_T}{\nu_{TL}}$$

Cette relation indique le lien qu'il existe entre les directions longitudinale et transversale au niveau des rapports de déformations (les coefficients de POISSON). Ces relations représentent un premier cadre pour la cohérence du comportement vis a vis des principes physiques fondamentaux. Afin de respecter ces principes, les domaines de valeurs des modules sont restreintes. La première restriction considérée est d'ordre logique ; les modules d'YOUNG les modules de cisaillement et le module volumique doivent être positifs.

$$E_t, E_L, G_{LT}, G_{TT}, K_L > 0.$$

Cela signifie que la réponse du matériau à une sollicitation ne lui est pas opposée. Par exemple, l'application d'une contrainte de compression n'implique pas une augmentation de la dimension dans la direction de sollicitation. Autre restriction qui découle de la première est donnée par la relation suivante :

$$\nu_{LT}^2 \frac{E_T}{E_L} < 1 \quad \Leftrightarrow \quad \nu_{LT} E_T < E_L .$$

Cette relation indique notamment la direction longitudinale. Par le jeu des relations entre les modules, il est également possible de faire apparaître une restriction similaire sur le coefficient $\nu_{TL}$. La dernière restriction concerne le plan d'isotropie, classique pour le comportement élastique isotrope.

$$-1 \leqslant \nu_{TT} \leqslant 1$$

Ainsi, l'ensemble de ces relations et restrictions permettent notamment de detecter les erreurs de détermination des coefficients.