Point de vue Eulérien

On écrit $\overrightarrow X_0(\overrightarrow x , t) = \overrightarrow x - \overrightarrow u (\overrightarrow x , t)$. Le vecteur $\overrightarrow u$ dépend des coordonnées spatiales. Pour ce rappel, le point de vue adopté est le cas d'une représentation Lagrangienne. Il est considéré la configuration initiale d'un domaine à un instant $t_0$ et sa configuration courante à un instant $t$. La position initiale d'un point du domaine est notée : $\overrightarrow{X}_0$. Les composantes de ce vecteur seront notées avec un indice 0 . La position courante de ce même point est notée : $\overrightarrow{x}(\overrightarrow{X}_0,t)$. La configuration courante est liée à la configuration initiale au travers du tenseur gradient des transformations $\boldsymbol{F}$ et définie par :

$$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{grad}_{X_0} \overrightarrow{x}$$ (4.27.1)

De ce tenseur, il en découle plusieurs combinaisons donnant lieu à des tenseurs exprimant une partie de la transformation. Cette partie correspond à la déformation du domaine considéré. Parmi les combinaisons il y a :

• le tenseur des dilatations de Cauchy $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T.\boldsymbol{F}$
• le tenseur des déformations de GREEN $\boldsymbol{E}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})$

Le tenseur gradient de la transformation peut être décomposé comme suit (décomposition canonique) :

$$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{V.R}$$ (4.27.2)

Le tenseur $\boldsymbol {R}$ représentant la rotation d'un corps rigide, ce tenseur est orthogonal, donc : $\boldsymbol {R^T}=\boldsymbol{R^{-1}}$. Ainsi, on peut calculer le tenseur ${\boldsymbol V}$ (tenseur des déformations à gauche) de la façon suivante :

$$\boldsymbol{V.V}=\boldsymbol{F.F^T}$$ (4.27.3)

Ainsi :

$$\boldsymbol{R}=\boldsymbol {V^{-1}.F}$$ (4.27.4)

On note $\lambda_i$ les valeurs principales du tenseur $\boldsymbol{V}$, et $\boldsymbol n_i$ les vecteurs principaux associés. Dans ce repère principal sont définis : Le tenseur des déformations nominales (déformation de BIOT)

$$\boldsymbol{\varepsilon^N}= \boldsymbol{V}-\boldsymbol{I}=\sum_{i=1}^3 (\lambda_i -1)\boldsymbol n_i \otimes \boldsymbol n_i^T$$ (4.27.5)

Le tenseur des déformations logarithmiques ou des déformations naturelles

$$\boldsymbol{\varepsilon^L}= \ln(\boldsymbol{V)}=\sum_{i=1}^3 \ln(\lambda_i)\boldsymbol n_i \otimes \boldsymbol n_i^T$$ (4.27.6)

C'est cette définition de la déformation qui est utilisée dans les travaux présentés dans ce mémoire. La transformation des volumes est interprété par le Jacobien défini par :

$$J=det(\boldsymbol{F})$$ (4.27.7)

L'ensemble des combinaisons de $\boldsymbol F$ sont des variables extensives. Il est également possible de définir parmi ces variables, le tenseur gradient des vitesses $\boldsymbol L$ :

$$\boldsymbol L = \boldsymbol{\dot{F}} \cdot \boldsymbol{F} ^{-1} ,$$

dont la partie symétrique définit le tenseur taux de déformations :

$$\boldsymbol D = \frac{1}{2} \left(\boldsymbol L + \boldsymbol L^{T}, \right)$$

Chaque variable extensive possède un dual, la variable intensive. Ainsi, le dual par rapport à l'énergie de déformations de $\boldsymbol D$ dans le repère initial est le tenseur des contraintes de Kirchoff $\boldsymbol \tau$ défini par :

$$\boldsymbol \tau = J \boldsymbol \sigma,$$

où $\boldsymbol \sigma$ est la contrainte de Cauchy. Il est à noter que le tenseur de Kirchoff est symétrique. La combinaison des variables extensives et des variables intensives permet de déterminer le travail ($W$) sur le domaine considéré : $W = \boldsymbol \tau : \boldsymbol D$. Ceci est pris en compte dans ce qui suit.