Cadre thermodynamique

Dans ce chapitre, sont présentées des lois de comportement. Celles-ci étant décrites dans le cadre de la mécanique des milieux continus, elles doivent vérifier les principes de la thermodynamique. Afin de poser le cadre thermodynamique, les hypothèses suivantes sont posées :

1. l'état thermodynamique du corps est décrit par un certain nombre de variables d'état indépendantes ( $\boldsymbol \varepsilon$) et de variables internes ( $\textbf {k} _\alpha$ scalaires ou tensorielles). Les variables d'état suffisent à décrire l'évolution du milieu durant un processus thermodynamique réversible (comportement élastique). Par contre, les variables internes - prises constantes dans un processus réversible - décrivent la dissipation interne du matériau. Leurs évolutions dans le temps sont commandées par les variables d'état.
2. l'état thermodynamique d'une particule est déterminé par l'histoire des états thermodynamiques de cette particule (principe de causalité et principe de localisation spatiale).
3. il existe une énergie libre $\phi (\boldsymbol \varepsilon , \textbf{k} _\alpha) = U - T_0 . S$ ($T_0$ est la température, U est l'énergie interne et S est l'entropie).

Le premier principe de la thermodynamique indique qu'il y a conservation de l'énergie au cours d'une transformation si l'on inclut la chaleur ($Q$) échangée entre le système et son environnement :

$$dU = \partial W + \partial Q.$$

Dans les cas qui vont être considérés, la température est supposée homogène dans le domaine et constante au cours du temps. En ignorant les puissances non-mécaniques et l'énergie cinétique, le second principe de la thermodynamique conduit à la forme réduite de l'inégalité de dissipation :

$$\partial W - d \phi (\boldsymbol \varepsilon , \textbf{k} _\alpha) \geqslant 0$$ (4.27.8)

Dans le cas d'une transformation réversible, l'inégalité (4.3.8) se transforme en une égalité signifiant la non-dissipation. Si l'on note $\partial w = \boldsymbol \sigma : d \boldsymbol \varepsilon$ dans le repère final, on en déduit :

$$\left( \frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol \varepsilon}- ... ...partial \phi}{\partial \textbf{k}_\alpha} \cdot d\textbf{k}_\alpha \leqslant 0$$

quelque soit $d \boldsymbol \varepsilon$. En admettant qu'il existe, au voisinage de tout état, un domaine élastique pour lequel la microstructure (variables $\textbf {k} _\alpha$) est "figée", alors il est possible d'envisager des transformations telles que :

$$\forall d\boldsymbol \varepsilon, \boldsymbol \varepsilon, \ ... ... \quad \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial \textbf{k}_\alpha} \leq 0.$$

Pour retrouver l'élastoplasticité classique, il est supposé une décomposition de la déformation ( $\boldsymbol \varepsilon = \boldsymbol \varepsilon^{el} + \boldsymbol \varepsilon^{pl}$). De plus, les variables internes $\textbf {k} _\alpha$ sont : $\boldsymbol \varepsilon ^{pl}$ et X (tenseur d'ordre 0, 1 ou 2). Ainsi, pour l'énergie libre, on a :

$$\phi(\boldsymbol\varepsilon,\textbf{k}_\alpha) = \phi(\boldsymbo... ...\varepsilon^{pl},\textbf{X}) = \phi(\boldsymbol\varepsilon^{el},\textbf{X}),$$

car il y a une décomposition de la déformation. Cette dépendance implique :

$$\boldsymbol \sigma = \frac{\partial \phi}{\partial \boldsymbol \... ...epsilon^{pl}} = \boldsymbol \sigma(\boldsymbol \varepsilon^{el},\textbf{X}).$$

Soit, l'état de contraintes est fonction des variables internes et de la déformation élastique. En outre, la condition de dissipation s'écrit :

$$\boldsymbol \sigma : d \boldsymbol \varepsilon^{pl} - \frac{\partial \phi}{\partial \textbf{X}} \cdot d\textbf{X} \geqslant 0$$

Lorsque le comportement est élastique, la dissipation est nulle. La dissipation n'est donc due qu'au comportement plastique. C'est ce comportement qui est étudié.