Application à la plasticité

La fonction énergie libre peut permettre de définir un critère. Le critère est la limite du domaine élastique (comportement réversible). Lorsque cette limite est atteinte, le comportement est dit plastique, ou irréversible. Notons $f$ ce critère appelé aussi fonction seuil. Par convention, le signe de cette fonction indique si le comportement du matériau est élastique ou plastique. En fait, trois cas se présentent :

• $f < 0$, le comportement est élastique ;
• $f = 0$, le comportement est élasto-plastique ;
• $f > 0$, est un état de contraintes impossible.

Lorsque la fonction seuil est nulle ($f = 0$), cela correspond à un état de contraintes situé sur la surface de charges. Dans cette configuration de sollicitations, une seule alternative est possible :

• une augmentation de la charge lorsque :
  $$\frac{\partial f(\boldsymbol\sigma, k_\alpha)}{\partial \boldsymbol\sigma} d \boldsymbol\sigma \geq 0 et df = 0$$

• une décharge lorsque :
  $$\frac{\partial f(\boldsymbol\sigma, k_\alpha)}{\partial \boldsymbol\sigma} d \boldsymbol\sigma < 0$$

Dans le cadre de critères convexes, la décharge est élastique. Quant à l'augmentation de chargement, il reste à déterminer dans quelles conditions il a lieu. En particulier, il faut définir comment s'écoule le matériau. Le chargement plastique est effectué en considérant à la fois l'état de contraintes et ces variations. Soit, à un incrément de contraintes correspond un incrément de déformations plastiques. Cette évolution de la déformation plastique est définie par :

$$d \boldsymbol\varepsilon^{pl} = d \lambda \frac{\partial g(\boldsymbol\sigma, k_\alpha)}{\partial \boldsymbol\sigma},$$ (4.27.9)

avec $d\lambda$ le multiplicateur plastique (scalaire positif) et $g$ le potentiel plastique. Cet incrément de déformations plastiques est homogène à un tenseur d'ordre deux et donne la direction de l'incrément de la déformation plastique. Cette direction ne dépend que de la normale à la surface que constitue la surface de potentiel (en fait, c'est l'iso-potentiel qui peut être représenté par une surface) ainsi que l'illustre la figure 4.3.3.

Figure 4.3.3: La dérivée partielle du potentiel g par rapport aux contraintes est la normale à une surface définie par l'ensemble des états de contraintes ayant une même valeur du potentiel

L'incrément de déformations est apparenté à un vecteur d'écoulement du matériau. La normalité de ce vecteur est exprimée au travers de la dérivée. Ainsi, l'amplitude de ce vecteur est donnée par $d\lambda$. Le comportement élasto-plastique peut être synthétisé par la condition de consistance de Kuhn-Tucker :

$f(\boldsymbol \sigma , k_\alpha) \leqslant 0$	limite du domaine de comportement élastique
$d \lambda \geqslant 0$	écoulement plastique
$d \lambda f(\boldsymbol \sigma , k_\alpha) = 0$	synthèse de l'alternative élastique -plastique

Dans le cas des matériaux écrouissables, on peut écrire :

$$d\lambda = \frac{1}{H}\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol \sigma} d\boldsymbol \sigma \right),$$ (4.27.10)

où $H=H(\boldsymbol \sigma, k_\alpha)$ est le module d'écrouissage. La condition de compatibilité sur la surface de charges est donnée par :

$$df(\boldsymbol \sigma,k_\alpha) = \frac{\partial f}{\partial \bol... ...ma} : d \boldsymbol \sigma + \frac{\partial f}{\partial k_\alpha} dk_\alpha = 0$$ (4.27.11)

Cette condition de compatibilité indique que la contrainte est et reste sur la surface de charges $f(\boldsymbol\sigma, k_\alpha) = 0$. S'il y a un incrément de déformations plastiques ( $d\varepsilon^{pl}$), il y a alors un incrément de la variable d'écrouissage ($dk_\alpha$). Posons une relation linéaire entre l'incrément de la variable d'écrouissage et le multiplicateur plastique :

$$dk_\alpha = d \lambda l_\alpha,$$ (4.27.12)

où $l_\alpha(\boldsymbol \sigma, k_\alpha)$ est une fonction constitutive de la loi d'écrouissage. En injectant l'équation (4.3.12) et l'équation (4.3.10) dans l'équation (4.3.11), on obtient :

$$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol \sigma} d\boldsymbol \sig... ...eft( 1 + \frac{1}{H}\frac{\partial f}{\partial k_\alpha} l_\alpha \right) = 0.$$ (4.27.13)

Ainsi, si on se donne la relation (4.3.12), on peut déterminer $H$. Le modèle plastique est alors complètement défini.