Principe général

Le principe de ce schéma consiste à résoudre l'équation d'équilibre à l'instant $t + \Delta t$ : $F(u_{t + \Delta t}) = 0$. Or, la solution $u_{t + \Delta t}$ est contenue dans l'équation à résoudre. La résolution est donc déterminée par récurrence sur l'incrément de temps.

$$u_{t + \Delta t} = u_t + \Delta t \dot{u}_{t + \Delta t} + \Delta... ...\dddot{u}_{t + \Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t^4 \ddddot{u}_{t + \Delta t})$$

Figure 5.2.1: Illustration du schéma implicite d'intégration au cours du temps

La figure 5.2.1 illustre le principe des différences finies implicites. La valeur nodale $u_i(t+\Delta t)$ est calculée à partir de la valeur $u(t)$ et de ces dérivées en $t + \Delta t$. L'indice représente les différentes itérations qui mènent à la valeur nodale. C'est une résolution d'un système d'équations couplées à chaque pas de temps comme suit.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{t+ \Delta t} & = & u_t + \... ...^2(u_{t+ \Delta t}) \\ & $\vdots$ & \end{array} \right.$$

L'un des avantages majeurs de ce type de résolution est que ce schéma est inconditionnellement stable i.e. la convergence n'est pas soumise à des restrictions numériques. Cependant, la convergence peut être longue, impliquant de longs temps de calculs pour des problèmes quelques peu compliqués.