Abaqus/Standard

Généralement, c'est la méthode de Newton qui est utilisée pour résoudre les problèmes non-linéaires. La base du formalisme de cette méthode est la suivante. Considérons qu'après i itérations sur l'incrément de temps, l'approximation de la solution est $u_i$. La différence entre la solution exacte et la solution après i itérations est notée $c_{i+1}$. La solution exacte est donc donnée par

$$u = u_i + c_{i+1}.$$

En écrivant symboliquement le principe des travaux virtuels par une équation implicite,

$$F(u)=0,$$

cela signifie l'équilibre par rapport à la variable nodale considérée. Cette équation implicite peut être développée en série de Taylor en $u_i$, ce qui donne :

$$F(u_i) + \frac{\partial F}{\partial u}(u_i)c_{i+1} + \frac{\partial^2 F}{\partial u^2}(u_i)c_{i+1}^2 + \dots = 0$$ (5.32.3)

Si l'approximation $u_i$ est proche de la solution, alors $c_{i+1}$ est petit et l'équation (5.2.3) peut être réduite à ces deux premiers termes donnant ainsi :

$$\frac{\partial F}{\partial u_i}(u_i) c_{i+1} = -F(u_i)$$ (5.32.4)

Cette équation (5.2.4) permet de déterminer $c_{i+1}$ pour calculer l'approximation suivante $u_{i+1}$ par

$$u_{i+1} = u_i + c_{i+1}$$

Figure 5.2.2: Illustration de la méthode de Newton

La figure 5.2.2 illustre la méthode de Newton dont le but est de déterminer $u$ tel que $F(u) = 0$. Sur cette figure, on observe que la valeur nodale de l'incrément suivant utilise la matrice jacobienne comme une pente, en partant de la valeur courante. La convergence de cette méthode est quadratique, donc rapide. Cependant, la matrice jacobienne ( $\frac{\partial F}{\partial u_i}(u_i)$) peut présenter des problèmes d'existence et de singularité. Auquel cas, l'équation (5.2.4) est insoluble.