Algorithmes d'intégration des lois élasto-plastiques

Il y a plusieurs méthodes d'intégration qui sont notamment exposées par Macari & al. [MWA97]. Ces auteurs exposent des méthodes implicites (Backward Euler, generalized midpoint rule and generalized trapezoïdal rule) et explicites(Foward Euler et Vermeer scheme). La forme générale des équations constitutives des matériaux élasto-plastiques est donnée par :

$$%% after \ : \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ... \boldsymbol \varepsilon = \boldsymbol \varepsilon^{el} + \boldsymbol \varepsilon^{pl}$$ (5.35.1)

$$\boldsymbol \sigma = \boldsymbol \sigma(\boldsymbol \varepsilon^{el}, \textbf{k}_\alpha)$$ (5.35.2)

$$\dot{ \boldsymbol \varepsilon}^{pl} = \dot{\lambda} \textrm{\textbf{r}}( \boldsymbol \sigma, \textrm{\textbf{k}}_\alpha)$$ (5.35.3)

$$\textrm{\textbf{k}}_\alpha = \dot{\lambda} H(\boldsymbol \varepsilon^{pl},\textrm{\textbf{k}}_\alpha)$$ (5.35.4)

L'équation (5.5.1) exprime la décomposition de la déformation totale en une partie élastique et une partie plastique. L'équation (5.5.2) est la réponse élastique du matériau. L'équation (5.5.3) donne l'écoulement plastique non-associé et l'équation (5.5.4) exprime l'évolution des paramètres d'écrouissage. Le paramètre $\dot\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange ou multiplicateur plastique. Le tenseur r est la direction de l'écoulement plastique. C'est la normale au potentiel plastique. Le paramètre $\textbf {k} _\alpha$ est une variable d'écrouissage et H est le module plastique. Pour la suite, on aura besoin de la matrice élastique tangente $\Lambda$ (d'ordre 4). Le multiplicateur plastique $\dot\lambda$ est déterminé à l'aide de la charge-décharge du critère de plasticité F. Ceci peut être exprimé par :

$$F(\boldsymbol \sigma, \boldsymbol K_\alpha) \leq$$ 0 (5.35.5)

$$\dot \lambda \geq$$ 0 (5.35.6)

$$F \dot \lambda =$$ 0 (5.35.7)

Le critère est donné par l'inéquation (5.5.5) qui est supposé convexe. Ce critère délimite le domaine élastique. La condition de consistance plastique peut être exprimée par l'inéquation (5.5.6). Au cours de toute sollicitation, l'ensemble des équations (5.5.5), (5.5.6) et (5.5.7) doit être vérifié. Dans le cas où $F < 0$, il est nécessaire d'avoir $\dot \lambda = 0$ pour vérifier l'équation (5.5.7). On obtient alors le comportement élastique. Dans les autres cas, l'écoulement plastique est caractérisé par $\dot \lambda > 0$ et par conséquent, $F = 0$. Dans le code de calcul par éléments finis que l'on a utilisé, on impose la déformation. La déformation peut être vue comme une fonction du temps. On peut ainsi réécrire les équations (5.5.1), (5.5.2), (5.5.3) et (5.5.4) de la façon suivante :

$$\begin{tabular}{rcl} $\dot \varepsilon$ & = & $\dot \varepsilon... ... & = & $\dot \lambda H(\boldsymbol \sigma, \mathbf{k}_\alpha)$, \end{tabular}$$ (5.35.8)

où $\mathbf{B} \equiv \partial^2 W / \partial \varepsilon^{el} \partial \mathbf{k}_\alpha$ est une sorte de matrice de rigidité mais qui tient compte de l'évolution des paramètres élastiques en fonction des variables d'écrouissage. Les équations (5.5.8) peuvent être décomposées en une partie élastique et une partie plastique. La partie élastique des équations (5.5.8) est donnée par :

$$\begin{tabular}{rcl} $\dot \varepsilon$ & = & $\dot \varepsilon... ...^{pl}$ & = & $0$ \ $\dot {\mathbf{k}}_\alpha$ & = & $0$, \ \end{tabular}$$ (5.35.9)

et la partie plastique est donnée par :

$$\begin{tabular}{rcl} $\dot \varepsilon$ & = & $\dot \varepsilon... ... & = & $\dot \lambda H(\boldsymbol \sigma, \mathbf{k}_\alpha)$. \end{tabular}$$ (5.35.10)

En combinant les trois dernières équations de (5.5.10), il résulte l'expression de l'incrément de relaxation de la contrainte et l'incrément de la variable d'écrouissage, comme donné par (5.5.11).

$$\begin{tabular}{rcl} $\dot \sigma$ & = & $\dot \lambda \left( -... ...bda H( \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^{pl}, \mathbf{k}_\alpha)$. \end{tabular}$$ (5.35.11)

Au début de l'incrément de déplacement, l'ensemble des variables ( $\boldsymbol \varepsilon_n$, $\boldsymbol \varepsilon_n^{pl}$, $\mathbf{k}_{\alpha n}$, $\boldsymbol \sigma_n$) est connu. La base du problème est de mettre à jour cet ensemble de champs de variables pour obtenir l'ensemble des variables ( $\boldsymbol \varepsilon_{n+1}$, $\boldsymbol \varepsilon_{n+1}^{pl}$, $\mathbf{k}_{\alpha n+1}$, $\boldsymbol \sigma_{n+1}$). Au début de l'incrément, la limite élastique est notée par $\widehat \sigma_n$. Cette limite peut être exprimée comme une partie de l'incrément de contrainte calculée à partir de la loi élastique. Finalement, le nouvel état de contrainte est donné par une prédiction élastique diminuée d'une relaxation plastique. La prédiction élastique est donnée par :

$$\boldsymbol \sigma_{n+1} = \boldsymbol \sigma_{n} + \textbf{$\Lam... ...\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}, \quad \dot{\boldsymbol{ \varepsilon}}^{pl} = 0$$ (5.35.12)

La correction plastique est donnée par l'équation (5.5.11). Il est proposé sur la figure 5.5.1 une illustration de la méthode prédiction-correction.

Figure 5.5.1: Illustration de la méthode prédiction élastique-correction plastique

La prédiction est faite au travers de la loi élastique (incrément de déformation supposé totalement élastique). Ensuite, la correction plastique partitionne l'incrément de déformation totale en une partie élastique et une partie plastique. La différence des schémas d'intégration réside dans la façon de discrétiser le problème. Les schémas peuvent être groupés en deux catégories, celles qui utilisent une technique explicite et celles qui utilisent une technique implicite. Les méthodes explicites utilisent les variables en début d'incrément alors que les méthodes implicites utilisent les variables en fin d'incrément. Le choix de la technique d'intégration repose sur la discrétisation du gradient de potentiel ( $\boldsymbol r$).

• Méthodes explicites
  • Forward Euler :
    $$\boldsymbol r = \boldsymbol r (\widehat{\boldsymbol \sigma}_{n}) = \widehat{\boldsymbol r}_{n}$$

  • Schéma de Vermeer :
    $$\boldsymbol r = \boldsymbol r (\boldsymbol \sigma_{n+1}^{el}) = \boldsymbol r _{n+1}^{el}$$

• Méthodes implicites
  • Méthode Backward Euler :
    $$\boldsymbol r = \boldsymbol r (\boldsymbol \sigma _{n+1}) = \boldsymbol r_{n+1}$$

  • Loi du point milieu généralisée :
    $$\boldsymbol r = \boldsymbol r (\boldsymbol \sigma _{n+\alpha}^{el}) = \boldsymbol r_{n+\alpha}$$

  • Loi trapézoïdale généralisée :
    $$\boldsymbol r = (1-\alpha) \widehat{\boldsymbol r} +\alpha \boldsymbol r_{n+1}$$

Dans le cas ou $\alpha = 1$, alors les lois du point milieu généralisé et trapézoïdale généralisé coïncident avec la méthode de backward Euler. Cette méthode est particulièrement robuste et elle est employée au travers de l'algorithme proposé par Ortiz et Simo [OS86]. Le principe repose sur une mise à jour des partitions des déformations, une prédiction élastique des nouvelles contraintes puis une correction plastique. Il s'agit en fait une correction de l'état de contraintes et des variables d'écrouissage qui est répétée jusqu'à la convergence de la solution. La solution idéale consiste en un état de contrainte appartenant à la surface de charges écrouie. La solution numérique n'est que voisine de la solution idéale dans un intervalle de tolérance. Les méthodes implicites présentent l'avantage d'être inconditionnellement stable, contrairement aux méthodes explicites qui nécessitent une condition de stabilité. De plus, les méthodes implicites sont particulièrement robustes et offrent une convergence rapide (moins de 20 itérations pour les testes réalisés au cours de ces travaux).