Pièce E

Les outils sont supposés parfaitement rigides. Le modèle de frottement de Coulomb est déclaré aux interfaces communes des lignes représentatives des outils et du massif de poudre. Les évolutions des paramètres du modèle Drucker-Prager/Cap sont identifiées à partir de l'essai triaxial de révolution. Seule la phase de compression est simulée. Un rappel de la cinématique des outils est fourni par le tableau (6.3.1). La masse de la pièce est de 489.20 g. Les hauteurs initiales H1 et H2 valent respectivement 28.45 mm et 54.74 mm.

Tableau 6.3.1: Cinématique des poinçons pour la pièce E

$t_{UP}$(s)	$V_{UP}$(mm/s)	$t_{Die}$(s)	$V_{Die}$(mm/s)
1.11	25.86	0.82	14.66
$t_{LIP1}$(s)	$V_{LIP1}$(mm/s)	$t_{LIP2}$(s)	$V_{LIP2}$(mm/s)
0.39	12.14	0.96	19.44

Le maillage utilisé pour la simulation de mise en forme par la cinématique E est illustré par la figure 6.3.3.

Figure 6.3.3: Maillage de la pièce en L pour la cinématique E

À l'occasion de l'analyse détaillée de ce premier cas, une illustration peut être faite afin d'expliciter le phénomène de transfert de poudre au cours de la compression. Il est possible d'appréhender cette cinématique en observant l'évolution de deux volumes déterminés par des "colonnes". Considérons une première colonne C1 qui inclut les zones 3 à 5 et une seconde colonne C2 qui correspond aux autres zones de la pièce. Les vitesses de compression^6.1 respectives de ces colonnes déduites de la cinématique sont illustrées par la figure 6.3.4.

Figure 6.3.4: Définition des deux colonnes et vitesses de compression respectives au cours du temps

Le phénomène de transfert de poudre au cours de la compression fait référence à la migration de grains initialement contenus dans la colonne C1 (resp. C2) vers le volume circonscrit par la colonne C2 (resp. C1). Ce phénomène induit un transfert de masse entre les deux colonnes au cours de la compression. En supposant une densité initiale homogène et une masse constante de chacune des colonnes au cours de la compression, les masses volumiques moyennes en fin de compression des colonnes C1 et C2 sont respectivement 7.3$g/cm^3$ et 6.81$g/cm^3$. Les valeurs expérimentales (voir tableau 6.3.2) démentent ce résultat analytique car la densité moyenne mesurée pour la colonne C1 est inférieure à celle de la colonne C2. Compte tenu des évolutions relatives des vitesses de compression des colonnes C1 et C2 (voir figure 6.3.4), il n'est pas aisé de prévoir l'effet du phénomène de transfert sur la distribution finale de densité au sein de la pièce. De plus, le raisonnement mené pourrait être globalement remis en cause si l'on considère une distribution initiale hétérogène suite au remplissage. Concernant ce dernier point, il convient de rappeler que les simulations numériques sont réalisées en supposant la répartition de densité initiale homogène. Il résulte de ces considérations que le premier apport de la simulation numérique serait de prédire avec une bonne précision la distribution spatiale de densité en fin de compression. Une prédiction correcte du phénomène de transfert ou de migration de la poudre entre différentes régions de la pièce est à cet égard requis. Afin d'apprécier les résultats issus des modélisations par éléments finis, la figure 6.3.5 permet la comparaison des répartitions de masse volumique simulée et mesurée. Ces mêmes informations sont reportées dans le tableau (6.3.2) qui intègre le calcul des différences relatives entre les masses volumiques simulée et mesurée suivant les cinq zones précédemment décrites. La simulation numérique produit des répartitions spatiales de densité hétérogènes dans chacune des cinq zones de mesure expérimentale des masses volumiques. Les valeurs proposées comme résultats de la simulation pour chacune de ces zones sont obtenues en calculant une moyenne suite à l'extraction des valeurs associées à chaque élément fini.

Figure 6.3.5: Résultats de la répartition de densités dans la pièce E

Tableau 6.3.2: Résultats de la comparaison entre les mesures expérimentales et la distribution de masse volumique simulée dans la pièce E

masses volumiques en $g/cm^3$	zone 1	zone 2	zone 3	zone 4	zone 5
mesure	6.97	7.02	7.04	6.83	6.78
simulation	6.95	6.99	7.27	6.85	6.72
différence relative (%)	0.339	0.499	-3.153	-0.294	0.951

Les écarts relatifs calculés par rapport aux mesures sont assez faibles comme l'indique le tableau (6.3.2). Contrairement aux résultats analytiques obtenus en ayant supposé aucun transfert entre les colonnes C1 et C2, la simulation numérique prévoit des masses volumiques par zone plus cohérentes avec l'expérience. Notamment, le modèle prédit un transfert de poudre de la colonne C1 vers la colonne C2. Le modèle prévoit avec une assez bonne précision les masses volumiques moyennes des zones 1 et 2 qui sont incluses dans la région occupée par la colonne C2. La masse volumique simulée dans le bas de la jupe (zone 5) est plus faible d'un écart de 0.06$g/cm^3$ de la valeur expérimentale. Cet écart mérite quelques commentaires. Toute chose étant égales par ailleurs, il serait possible de corriger cette prédiction en supposant une distribution de densité initiale hétérogène. Plus précisément, il conviendrait d'augmenter très légèrement la densité initiale dans le bas de la jupe. Cette hypothèse va cependant à l'encontre de ce qui est communément admis, à savoir que la densité initiale en bas de la jupe est légèrement moins élevée que dans les autres zones de la cavité. Cet aspect demeure à ce jour une question ouverte car les données expérimentales en rapport avec des distributions de densité au remplissage ne sont pas disponibles. Il est également possible d'imputer cette différence à un gradient trop hétérogène de la densification simulée. Une telle hétérogénéité est essentiellement due au frottement entre la poudre et l'outillage. Ainsi, les efforts de compression imposés par l'outillage ne sont pas intégralement transmis au sein de la pièce. Comparativement aux autres zones de la pièce, le frottement perturbe dans cette zone plus fortement la transmission des efforts de compression car l'épaisseur de la jupe est faible. Outre la géométrie de la pièce, il est important de rappeler que la cinématique de la pièce E joue aussi un rôle très important. Le coefficient de frottement est supposé constant au cours de la compression, alors qu'il décroît en réalité ainsi que l'ont mis en évidence Pavier & al. [PD97] et Bonnefoy [BON01]. Une telle approximation ne semblerait donc pas bien adaptée pour simuler au mieux la densification de la zone numéro 5. L'influence conjuguée de la cinématique et du frottement simulé peut être également relevée à propos de la surestimation marquée dans la zone 3 (écart de 0.23$g/cm^3$). Le résultat numérique prévoit une masse volumique maximum de l'ordre de 7.32$g/cm^3$ à l'angle supérieur droit de la zones 3. Indépendamment de la surestimation de la masse volumique moyenne de la zone 3, il convient de souligner que la cinématique imposée et le frottement doivent en effet conduire à une masse volumique maximum à cet angle. Le gradient de densité simulé suivant le rayon de la pièce est particulièrement élevé dans la zone 3. Parallèlement, la simulation sous-estime la masse volumique de l'ensemble de la région (toile) qui inclut les zones 1 et 2. Le transfert de poudre équivalent à un transfert de masse ne semble donc pas avoir été suffisamment reproduit par la simulation. Afin de poursuivre la procédure de validation, il convient également de comparer les efforts simulés et mesurés. La comparaison porte sur les efforts maximaux enregistrés en fin de compression. Les champs de contrainte simulés sont hétérogènes, ainsi une procédure d'intégration numérique a été mise en uvre afin d'associer à chaque surface d'outillage une valeur d'effort. Le tableau (6.3.3) présente la comparaison des valeurs expérimentales et simulées pour chaque poinçon et les écarts relatifs associés.

Tableau 6.3.3: Résultats de la comparaison entre les efforts maximaux mesurés et simulés pour la pièce E

forces en MN	poinçon supérieur	poinçon inférieur	poinçon inférieur
		extérieur	intérieur
mesures	-2.79	0.53	1.94
simulation	-2.77	0.399	2.27
différence relative (%)	1	33	-14

Ce tableau indique des écarts relatifs assez importants pour les poinçons inférieur extérieur et inférieur intérieur. Il est à noter que la sous estimation de l'effort sur le poinçon inférieur extérieur coïncide avec la sous estimation de la densité de la zone 5. L'effort simulé pour le poinçon supérieur est égal à la mesure. Le poinçon supérieur est en contact avec les sommets des zones 1, 2 et 3. Les densités moyennes simulées sont respectivement sous-estimées de la zone 1 à la zone 2 et surestimée en la zone 3. La procédure d'intégration de la contribution verticale du champ de contrainte sur la surface supérieure de la toile conduit finalement par effet de moyenne à une valeur d'effort simulé très proche de l'expérience. L'ensemble de la simulation est réalisée sans remaillage. Ceci est rendu possible par la connaissance, suite à quelques essais, des répartitions de déformation induites par la phase de compression simulée. Muni de cette connaissance préalable, l'étape préparatoire au calcul consiste alors en la définition d'un maillage initial qui ne sera pas soumis à des dégénérescence de maillage d'amplitudes trop fortes. Un exemple de mise en uvre de la procédure de remaillage intégrée au code ABAQUS est proposée au paragraphe 6.4. Le comportement du maillage à l'angle interne de la pièce produit un effet qui pourrait être interprété comme la formation d'une fissure pendant la compression. Ceci coïncide avec les observations expérimentales qui attribuent ce défaut à la cinématique spécifique à la pièce E. La figure 6.3.6

Figure 6.3.6: Extraction des déformations volumiques plastiques dues au mécanisme de Drucker/Prager. Formation envisageable de la fissure pendant la phase de compression de la pièce E

montre le soulèvement du matériau au coin du poinçon inférieur intérieur, signifiant la monté relative de la jupe^6.2 par rapport à la toile^6.3. La figure 6.3.6 correspond à une extraction de valeurs particulières au mécanisme de Drucker/Prager au sein de l'ensemble des fichiers numériques produits par la simulation. Lorsque la valeur de la déformation volumique plastique associée est non nulle, l'état de déformation est fortement déviatoire au sens où le rapport Q/P est suffisamment élevé pour activer le mécanisme de Drucker/Prager. Les régions de la pièce concernées par une valeur non nulle sont donc soumises à un état de déformation à fortes composantes de cisaillement. La seule région fortement cisaillée correspond à l'angle interne de la pièce. Le soulèvement observé est a priori à mettre au compte de la méthode des éléments finis (sans remaillage pour ce cas). En effet, ce soulèvement à l'angle de la pièce est systématiquement reproduit pour toutes les simulations. Ainsi, les pièces simulées pour lesquelles aucune fissure de ce type n'a été observée expérimentalement sont également concernées par ce type de soulèvement. La fiabilité de ce comportement à l'angle comme indicateur de la formation de fissure peut être alors remise en cause. Afin de proposer une explication, il convient de rappeler que chaque élément fini est associé à une masse de matière fixée, les frontières de chaque élément étant définies par les fonctions d'interpolation et leurs évolutions. Par ailleurs, chaque élément fini est lié à ces voisins par les noeuds en communs. L'initiation et les conditions (états de contrainte et de déformation déviatoires) numériques du soulèvement interviennent très précocement au cours de la simulation. La poudre est en réalité un matériau pulvérulent non cohésif au premier stade de la compression, il est donc probable que le matériau s'écoule sans pouvoir accommoder la moindre déformation en cisaillement imposée par certaines cinématiques. La modélisation éléments finis mise en uvre ne peut pas être prédictive pour simuler l'apparition d'une telle phénoménologie spécifique au caractère pulvérulent du matériau. Les états de contraintes en fin de compression sont présentés sur les figures 6.3.7, 6.3.8 et 6.3.9 afin d'observer l'état de sollicitations de la poudre. Les figures 6.3.7 présentent l'état de contraintes au travers des invariants p et q. La pression isotrope p indique notamment la capacité de la pièce à se dilater isotropiquement (par le lien entre la déformation volumique élastique et la pression isotrope au travers du modules élastique isotrope). Par ailleurs, le gradient de pression isotrope qui est observé au contact avec la matrice indique la possibilité de ruine par usure prépondérante localisée. Ceci est confirmé par l'état de contraintes radiales $\sigma _{11}$ sur la figure 6.3.9. Quant au gradient des pressions isotropes sur le le poinçon supérieur (UP), il indique la possibilité d'un écaillage du revêtement. Cet effet est confirmé par l'état de contraintes axiales $\sigma _{22}$ sur la figure 6.3.8. L'état de contraintes équivalente de Von Mises illustré par la figure 6.3.7 présente la proximité du coin intérieur (concave) comme étant soumis à des contraintes déviatoire. Ceci est révélateur de l'histoire de sollicitation. En effet, dans ce lieu la poudre à été déformée par écoulement nécessitant des efforts de cisaillement. Cette observation est corrélé par l'état de contraintes en cisaillement $\sigma _{12}$ illustré par la figure 6.3.8.

Figure 6.3.7: État de contraintes dans la pièce E : pression isotrope (à gauche) et contraintes équivalente de Von Mises (à droite)

Il est à noter que les niveaux de contraintes déviatoires q sont relativement élevés dans l'ensemble de la pièce. Ceci pourrait indiquer que le mécanisme de ruine (Drucker-Prager) est sollicité. Or, pour une grande partie de la pièce, la pression isotrope correspondante tant à montrer que c'est le mécanisme de densification (Cap) qui est mis en uvre. La seule zone ruinée est celle se situant à proximité du coin intérieur. Ainsi, il semble que la contrainte équivalente de Von Mises tendrait à indiquer une fissuration. Or, Il faut prendre en considération la déformation artificielle du maillage qui fausse la détection d'apparition des fissures.

Figure 6.3.8: État de contraintes dans la pièce E : contraintes axiales $\sigma _{22}$ (à gauche) et les contraintes de cisaillement $\sigma _{12}$ (à droite)

Figure 6.3.9: État de contraintes dans la pièce E : contraintes radiales $\sigma _{11}$ (à gauche) et les contraintes orthoradiales $\sigma _{33}$ (à droite)