Compression uniaxiale cyclique d'un comprimé

Afin de mettre en évidence les caractéristiques du comportement élastique, des essais de compression simple sur des échantillons cubiques ont été réalisés par Riera & al. [RPF$^+$00]. L'originalité de ces essais repose sur le caractère cyclique du chargement au travers des nombreuses décharges-recharges de la sollicitation imposée. Dans un premier temps, la poudre de fer DISTALOY AE a été mise en forme par compression en matrice de section carrée comme indiqué sur la figure 2.7.1. Un repère est lié à l'échantillon de façon à mémoriser la direction de compression. Des comprimés de différentes densités ont été réalisés. Il est à noter que les échantillons ont été démoulés et non pas éjectés de la matrice.

Figure 2.7.1: Fabrication de l'échantillon dans une matrice de section carrée

Le comportement de ces échantillons a ensuite été caractérisé par un dispositif de compression uniaxiale. La contrainte appliquée oscille entre zéro et un maximum croissant. La direction de la sollicitation, par rapport au repère de mise en forme, est l'une des variables de cet essai ainsi que le traduit la figure 2.7.2. Cette figure indique également l'ensemble de mesures qui sont effectuées au cours des essais.

Figure 2.7.2: Compression uniaxiale dans la direction de fabrication de l'échantillon et dans la direction orthogonale

La figure 2.7.3 expose les mesures associées à un essai complet représentatif de l'ensemble des résultats de la campagne expérimentale. Les cycles de décharge-recharge en contrainte présentent une ligne "enveloppe" (ligne pointillée). Cette ligne enveloppe correspond à la réponse mécanique dans le cas d'un chargement monotone jusqu'à la rupture. La réponse expérimentale aux cycles de décharges-recharges montre clairement par cette figure que les parties réversible et irréversible du comportement ne peuvent être distinguées au travers d'un simple chargement monotone. Cette première remarque constitue une des conclusions majeures de cette campagne expérimentale. Chacun des cycles de décharge-recharge permet d'isoler et d'exhiber la partie réversible du comportement si elle existe (courbe contraintes/déformations de décharge confondue avec celle de la recharge). Ainsi l'identification est opérée au travers de la décomposition de la déformation en une partie élastique et une partie plastique. La déformation élastique étant nulle pour une contrainte nulle, la déformation résiduelle pour cet état de contraintes est donc plastique.

Figure 2.7.3: Réponse dans un diagramme contrainte-déformation aux sollicitations cycliques

Sur la figure 2.7.3, il apparaît de très légères hystérésis sur les cycles. Ce phénomène, compte tenu de son amplitude, ne sera pas pris en compte dans l'interprétation du comportement du matériau. Il peut être dû en partie aux imprécisions du dispositif de mesure. L'hypothèse proposée est donc que les cycles correspondent à la partie élastique du comportement du comprimé à vert. La figure 2.7.4 illustre un faisceau de cycles suite à l'élimination de la ligne associée au chargement monotone.

Figure 2.7.4: Suppression de l'enveloppe élasto-plastique

La recherche d'un modèle élastique représentatif de ces cycles réversibles conduit à relever deux points avant de conclure l'analyse. L'une des propriétés du modèle recherché sera d'associer à un état de déformations élastiques nul un état de contraintes nul. Un autre point consiste à déterminer si au cours d'un essai complet jusqu'à rupture (2.7.3) le comportement réversible est identique. Ainsi pour chaque cycle, la déformation permanente mesurée pour une contrainte nulle (fin de la décharge) a été retirée. Cela revient à translater les cycles représentés figure 2.7.4 à l'origine de l'axe de déformation axiale. Ceci constitue l'origine des déformations élastiques pour chaque cycle illustré par la figure 2.7.5.

Figure 2.7.5: Diagramme déformation élastique-contrainte mettant en évidence la superposition des cycles

Cette figure met également en évidence la superposition presque parfaite des cycles. Cette remarque permet de conclure que le comportement élastique n'est pas modifié par les déformations plastiques croissantes enregistrées à chaque augmentation de la contrainte axiale. Finalement cette figure représente dans notre cadre idéalisé une seule courbe que l'on dénommera "réponse élastique" par la suite. Un autre point remarquable est que les comprimés ne présentent pas de limite élastique en phase initiale de la compression. Ce caractère spécifique est identifiable sur la figure 2.7.3 par la forme de la ligne enveloppe pratiquement horizontale aux premiers stades de la compression simple. Cette observation est systématique à l'ensemble des essais menés. Les comprimés démoulés après densification en matrices se déforment de manière permanente lorsqu'ils sont soumis à de très faibles contraintes de compression simple : ceci suppose une déformation des grains et plus probablement un réarrangement qui modifie les contacts. Suite à une déformation plastique de l'ordre de 1%, le comportement du comprimé correspond à une réponse du type élasto-plastique écrouissable. Ceci met finalement en évidence une grande sensibilité aux effets de trajet dans le contexte où les modes de sollicitation changent brutalement. Les essais de compression simple ont été pratiqués dans deux directions comme indiqué sur la figure 2.7.2. Le traitement des données exposé ci-dessus a été systématiquement appliqué pour présenter les réponses élastiques. Les figures 2.7.6, 2.7.7 et 2.7.8 illustrent les réponses pour une direction de contrainte parallèle et perpendiculaire à l'axe de densification (fabrication du comprimé), ceci pour trois densités.

Figure 2.7.6: Réponse axiale pour une densité de $5.84 g/cm^3$

Figure 2.7.7: Réponse axiale pour une densité de $6.3 g/cm^3$

Figure 2.7.8: Réponse axiale pour une densité de $6.98 g/cm^3$

Cette série de résultats par compression simple de comprimés à vert conduit à de nombreuses remarques. Il est à noter que ces réponses en déformation-contrainte présentent une évolution avec la densité. Le comportement élastique est non-linéaire et dépend de l'orientation de la sollicitation par rapport au comprimé. La non-linéarité du comportement élastique a déjà été observée par Dawson & al. [DPB96], ce qui est illustré par la figure 2.7.9. Cette figure met en lumière la non-constance de la raideur non seulement pendant la compression lorsque la masse volumique augmente, mais également à la décharge des contraintes pour une densité approximativement constante.

Figure 2.7.9: Évolution de la raideur (module d'Young) et de la masse volumique en fonction de la pression appliquée lors d'une compression dométrique par Dawson & al.

Ainsi, la non-linéarité n'est pas le fait d'erreurs de mesures. En outre, il ne faut pas oublier que le matériau étudié est un assemblage de grains de poudre. Ce caractère non-linéaire de l'élasticité a déjà été observé, non seulement pour les assemblages de particules comme par exemple de l'argile (voir CamClay exposé dans le chapitre 3), mais aussi pour des assemblages de fibres de verre comme le montre Baudequin & al. [BRR99]. Ces assemblages ont en commun la non-cohésion entre les entités élémentaires qui les constituent et une augmentation des surfaces de contact entre les entités lorsque la contrainte de compression augmente. Il est possible de comprendre ces phénomènes (non-linéarité et dépendance de l'orientation) en considérant le problème de Hertz [HER96]. Pour ce problème relatif à deux sphères en contact, il apparaît que la raideur associée au rapprochement des deux centres est fonction de la surface de contact entre les deux sphères. En prolongeant ce raisonnement, il est possible de déterminer l'origine de la dépendance de l'orientation. Pour cela, le raisonnement s'appuie sur la figure 2.7.10 dont les micrographies sont issues de [GER94].

Figure 2.7.10: Évolution de la forme des grains au cours de la compression en matrice. (A) au remplissage, (B) en cours de compression, (C) densification complète

Les figures (A), (B) et (C) illustrent de manière simplifiée l'évolution de la forme des grains au cours d'une compression en matrices d'axe vertical. Ce schéma synoptique traite du stade initial (A) suite au remplissage jusqu'au stade ultime (C) d'une densité relative très élevée proche de 1. L'effet de l'orientation de compression est pris en compte par l'évolution particulière des surfaces de contact entre grains à la figure (B). Cette figure signifie que dans la direction de compression la surface de contact totale est plus importante pour un nombre de contacts donné que dans la direction radiale qui lui est perpendiculaire. Par extension à la solution du problème de Hertz, la raideur suivant la direction de compression devrait être plus élevée que la raideur suivant la direction perpendiculaire pour le cas (B). Pour le schéma (C), la surface de contact entre grains est similaire dans les deux directions, les raideurs devraient être égales. Par ailleurs, cette illustration permet aussi de convenir que la raideur devrait être une fonction croissante de la densité. Si la compression simple uniaxiale permet une première qualification des phénomènes élastiques propres aux comprimés à vert, elle ne permet pas cependant de déterminer les valeurs caractéristiques liées à ce phénomène pour des états de confinement à contrainte élevée. En effet, la raideur mesurée, portion rectiligne de la réponse à un cycle, est pour une densité de $7 g/cm^3$ de 20 GPa alors que Dawson & al. [DPB96] mesurent des raideurs de l'ordre de 200 GPa comme le montre la figure 2.7.9. Par ailleurs, les mesures réalisées par Pavier [PAV98] après confinement dans la cellule triaxiale de révolution semblent confirmer les ordres de grandeurs mesurés par Dawson. Il demeure parallèlement que les mesures réalisées par Dawson et Pavier n'ont pas le degré de précision pourtant nécessaire des essais menés par Riera. Ainsi, la quantification de la non-linéarité et de l'anisotropie élastique en fonction de la densité pour des états de confinement à contrainte élevée devrait conduire à la conception de dispositifs spéciaux et à la mise en place d'une campagne expérimentale exhaustive. Le niveau de précision requis pour la mesure de la réponse élastique se justifie par l'allure des cycles. Ceux-ci sont constitués d'une partie curviligne enregistrée aux faibles valeurs de contraintes puis d'une portion rectiligne. Si la réponse d'un cycle et une droite parallèle à la portion rectiligne (comportement linéaire) sont reportés sur le même graphe, il est aisé de comparer les écarts en déformation de ces deux types de comportement pour une même contrainte. Cet écart est noté ($\Delta$) ainsi que l'illustre la figure 2.7.11.

Figure 2.7.11: Erreur $\Delta$ pour un même niveau de contrainte entre un modèle élastique linéaire et non-linéaire

Cette figure met en évidence la différence en déformation si le comportement élastique des comprimés à vert était supposé linéaire, la raideur étant déterminée par la partie rectiligne de la réponse mesurée. Or, dans le cadre d'une étude pour la simulation d'un procédé de mise en forme "juste aux cotes", il est nécessaire de prendre en compte la non-linéarité afin de ne pas introduire une erreur d'amplitude ($\Delta$) sur les retours élastiques.