Modèle de Lade

Dans le but de modéliser le comportement élastique des sables, Lade & al. [LN87] ont développé un modèle d'élasticité non-linéaire. Ce modèle est basé sur celui de Hooke, dont le module d'Young est variable et le coefficient de Poisson est constant. La constance de ce dernier est issue des observations expérimentales sur plusieurs sables. Étant donné que le comportement élastique a pour propriété l'existence d'une relation bijective entre l'état de contraintes et l'état de déformations, on en déduit que le travail élastique est indépendant du chemin de sollicitation. En effet, le travail élastique étant fonction des états de contraintes et de déformations, il est possibles de ne l'exprimer qu'au travers de l'état de contraintes ou de l'état de déformations (bijection entre ces états). Or l'état de contraintes ne permet pas de restituer l'histoire des sollicitations, donc le travail élastique en fait de même. Sur un chemin de contraintes fermé (passant par les points A, B, C, D et revenant en A comme illustré sur la figure 3.4.1), le travail est nul.

Figure 3.4.1: Chemins de contraintes en charge et en décharge

$$\int_{ABCDA}dW = \int_{ABCDA}\boldsymbol{\sigma}:d\boldsymbol{\v... ...^{(\sigma)}}{3E}dI_1^{(\sigma)} + \frac{1+\nu}{E}dJ_2^{(\sigma)} \right) = 0$$

où $I_1^{(\sigma)}$ est la trace du tenseur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}$ et $J_2^{(\sigma)}$ est la moitié de la trace du carré du tenseur des contraintes déviatoires. Cette intégrale sur un chemin fermé peut être réécrite sur la surface s'appuyant sur ce chemin comme suit.

$$\int_{\textsc{ABCDA}}\left(\frac{(1-2\nu)I_1^{(\sigma)}}{3E}dI_1^... ...^{(\sigma)} \right)}{\partial\sqrt{J_2^{(\sigma)}}} \right) d\mathcal{A} = 0$$

L'intégrale est nulle quelque soit la surface. Donc, ce qui est sous l'intégrale de surface doit être nul. Cela implique la résolution de l'équation différentielle suivante :

$$\displaystyle\frac{\partial \left( 2 \displaystyle\frac{1+\nu}{E... ...style\frac{1-2\nu}{3E}I_1^{(\sigma)} \right)}{\partial\sqrt{J_2^{(\sigma)}}}$$

En supposant que le coefficient de Poisson ($\nu$) est constant, cette équation différentielle a pour solution un module d'Young ($E$) fonction d'une seule variable unique X.

$$E = E(X)$$ (3.20.1)

où la variable X est elle même une fonction des invariants de la contrainte exprimée par l'équation (3.4.2).

$$X = (-3p)^2+\mathfrak{R}\frac{q^2}{3}$$ (3.20.2)

avec p la pression isotrope, q la contrainte équivalente de Von Mises et $\mathfrak{R}$ est une constante fonction du coefficient de Poisson.

$$\mathfrak{R}= 6 \frac{1 + \nu}{ 1 - 2 \nu}$$

Afin que le module d'Young ne fasse apparaître que des constantes matériau sans dimension, la fonction (3.4.1) est choisie comme suit :

$$E = \mathfrak{M}p_a \left[\frac{X}{p_a^2} \right]^\varsigma$$

où $p_a$ est la pression atmosphérique et $\mathfrak{M}$ et $\varsigma$ sont les constantes matériaux sans dimensions. Ce modèle a été utilisé pour les poudres métalliques par RIERA & al. [RPF$^+$00]. Le caractère non-linéaire est bien reproduit ainsi que l'illustre la figure 3.4.2.

Figure 3.4.2: Comparaison entre le modèle de Lade calé pour la poudre de fer et les données expérimentales obtenues par compression uniaxiale

De plus, les paramètres de ce modèle ont été calés pour trois masses volumiques et deux orientations de sollicitation. Les résultats sont présentés dans le tableau (3.4.1).

Tableau 3.4.1: résultats de calage des paramètres pour trois masses volumiques et deux directions de sollicitation

masse volumique	Longitudinale		Transversale		Coefficient de Poisson
$g/cm^3$	$\varsigma$	$\mathfrak{M}$	$\varsigma$	$\mathfrak{M}$	$\nu$
5.84	0.234	1810	0.214	2605	0.15
6.30	0.243	1607	0.208	2546	0.13
6.98	0.198	3038	0.194	3553	0.11

Les coefficients évoluent par rapport à la masse volumique, mais également par rapport à l'orientation de sollicitation. Ce modèle n'est qu'isotrope et ne peut pas par conséquent, traduire le comportement élastique orthotrope transverse au cours de la compression ainsi que le montre le tableau (3.4.1). Cependant, un tel modèle peut rendre compte du comportement élastique en fin de compression i.e. pour les masses volumiques proches du matériau dense (densité relative supérieure à 0.95) .