Élasticité du modèle de CamClay

Le modèle de comportement de CamClay propose un modèle élasto-plastique dont l'élasticité est non-linéaire. L'expression tensorielle de cette élasticité est donnée par l'équation 3.4.3 ( $\mathbf{I}$ est le tenseur unité d'ordre 2 et $\mathbb{I}$ est le tenseur unité d'ordre 4) exprimée par Callari & al.[CAS98] :

$$\dot{\sigma}=\left[ K \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} + 2 \mu \le... ...c{1}{3} \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} \right) \right] : \dot{\varepsilon ^e}$$ (3.20.3)

où K est le module de dilatation volumique et $\mu$ est le module de cisaillement. De plus, le module K dépend de la pression isotrope p( $=-\frac{1}{3}tr(\sigma)$) de la façon suivante :

$$K=\frac{p\mathfrak{V}}{\kappa}=-\frac{1}{3}\frac{tr(\sigma)\mathfrak{V}}{\kappa}$$ (3.20.4)

où $\mathfrak{V}=\frac{V}{V_s}$ est le volume spécifique et $\kappa$ est un paramètre matériau. Cette loi étant issue de la géomécanique, la déformation volumique est exprimée en fonction de l'indice des vides $e$.

$$de^{el}=-\kappa d(\ln(p))$$ (3.20.5)

L'équation (3.4.5) donne une relation bijective entre les quantités volumiques sans faire apparaître de cohésion (pression isotrope résistant à la traction isotrope). Pour avoir cette résistance à la traction, il suffit de déplacer l'origine des pressions comme présenté dans l'équation (3.4.6):

$$de^{el}=-\kappa d(\ln(p + p_t^{el}))$$ (3.20.6)

Où $p_t^{el}$ représente la résistance à la traction isotrope (la cohésion). Une telle relation peut être reprise pour la métallurgie des poudres en remplaçant l'indice des vides par la masse volumique. Ainsi, il en résulte que l'équation (3.4.6) devient :

$$d\rho^{el}=-\frac{\kappa \left(\rho^{el}\right)^2}{\rho_d} d(\ln(p + p_t^{el})),$$ (3.20.7)

où $d\rho^{el}$ représente l'incrément de masse volumique dû au mécanisme réversible. Cet incrément s'efface lorsque la contrainte est nulle. Il peut être montré que, si la compressibilité du squelette est négligée, la variation volumique du matériau n'est due qu'à la variation du volume des vides :

$$J = \frac{1+e}{1+e_0}=\frac{\rho_0}{\rho}$$ (3.20.8)

où $e_0$ est la valeur initiale de l'indice des vides et $\rho_0$ est la masse volumique initiale. L'évolution de $\rho$ décrit l'évolution de la déformation volumique inversement au jacobien $J$. En considérant la décomposition de la déformation volumique en une partie élastique et une partie plastique, on a :

$$J^{el} = \frac{\rho_0}{\rho^{el}},%%\frac{1+e^{el}}{1+e_0}$$ (3.20.9)

où $\rho^{el}$ est la masse volumique due à l'élasticité depuis $\rho_0$. En plaçant la relation (3.4.7) dans la relation (3.4.9) et en intégrant entre l'instant initial et l'instant courant, on obtient :

$$J^{el}-1 = \kappa \ln \left( \frac{p + p_t^{el}}{p_0 + p_t^{el}} \right)$$ (3.20.10)

où $p_0$ est la contrainte isotrope initiale donnée pas les conditions initiales. La relation (3.4.10) a pour réciproque :

$$p= -p_t^{el} + (p_0 + p_t^{el}) \exp \left( \frac{J^{el}-1}{\kappa} \right)$$ (3.20.11)

Le comportement déviatorique de cette élasticité peut être linéaire on non-linéaire. Dans l'état actuel de nos connaissances, on commencera pas une réponse élastique déviatoire linéaire définie par le module de cisaillement G.

$$\mathbf{s} = 2G \mathbf{e}^{el}$$ (3.20.12)

où $\mathbf{s}$ est le tenseur des contraintes déviatoires, et $\mathbf{e}$ est le tenseur des déformations déviatoires. Ce type de non-linéarité est intéressant du fait qu'il est issu de la mécanique des milieux pulvérulents et plus précisément, il modélise le comportement d'un matériau dont la morphologie des particules est semblable à la poudre métallique déformée plastiquement. Par contre, cette morphologie n'est pas prise en compte au niveau de la loi qui est isotrope. Part ailleurs, le fait que le cisaillement soit constant (3.4.12) ne convient pas pour la métallurgie des poudres et plus particulièrement pour les poudres de fer.