Discussion sur la réversibilité

Le modèle élastique non-linéaire de CamClay doit, comme tout modèle élastique, être une fonction bijective entre l'état de contraintes et l'état de déformations élastiques. En d'autre termes, à un état de contraintes ne correspond qu'un et un seul état de déformations élastiques (compte tenu de la décomposition de l'état de déformation). Nulle déformation inélastique ne doit apparaître à la suite d'un cycle fermé^3.1 de chargement en contraintes. Dans le cadre de la partie élastique du modèle de CamClay, Zytinski & al. [ZRNW78] ont mis en lumière les restrictions nécessaires à ce modèle pour que celui-ci soit conservatif (pas de dissipation d'énergie). Les principales étapes de cette démonstration sont exposées dans cette section. La plupart des modèles proposés ont pour origine une extension de l'élastoplasticité classique du comportement des métaux. Dans la région élastique, il n'y a pas de dissipation d'énergie et la réponse est conservative (la déformation dérive d'un potentiel). Zytinski & al. [ZRNW78] se proposent de modéliser la région élastique. Pour cela, ils considèrent la relation élastique suivante :

$$d\varepsilon_{vol}^{el}= \frac{dp}{K} \quad \textrm{avec} \quad K=\frac{p}{\kappa}$$ (3.20.13)

Si on considère que le coefficient de Poisson est constant, il vient que le module de cisaillement se déduit de la relation de l'élasticité infinitésimale suivante :

$$G=\frac{3(1- \nu)}{2(1+ \nu)}K = \frac{3(1- \nu)}{2(1+ \nu)} \frac{p}{\kappa}$$ (3.20.14)

Afin de voir si ces relations sont conservatives, on applique un chemin de contraintes cycliques a un échantillon cylindrique. Le chemin de contraintes est par exemple dans le plan p-q. La loi de Hooke nous donne :

$$d\boldsymbol \varepsilon = -\frac{\nu}{E} tr(d\boldsymbol \sigma) \boldsymbol I + \frac{1+ \nu}{E} d\boldsymbol \sigma.$$ (3.20.15)

Dans le cas d'une compression simple, la déformation volumique se résume à $\dot{\varepsilon}_{vol}=\dot{\varepsilon}_{11} + 2 \dot{\varepsilon}_{22}$. D'où, en utilisant la relation (3.4.15) on obteint :

$$\dot{\varepsilon}_{vol}=\frac{\dot{p}}{K}$$ (3.20.16)

Avec $p=\frac{1}{3}tr(\boldsymbol \sigma)$ la pression isotrope. De la même manière, on a la déformation déviatoire qui, dans le cas d'une compression simple, a pour expression : $d\varepsilon_{q}= d\varepsilon_{11}- d\varepsilon_{22}$. En utilisant le loi de Hooke (3.4.15), on obtient :

$$d\varepsilon_{q} = \frac{1+ \nu}{3(1-2 \nu)}dq$$ (3.20.17)

où $q$ est la contrainte équivalente de Von Mises. Le chargement cyclique que l'on applique au matériau illustré par la figure 3.4.3 est le suivant :

Figure 3.4.3: chemins de contraintes en charge et en décharge

la mise en charge est effectuée sur un chemin ABC pour lequel on a :

$$q=f_1(p) ,$$ (3.20.18)

et le retour s'effectue sur le chemin CDA pour lequel on a :

$$q=f_2(p)$$ (3.20.19)

il est à noter que les fonctions $f_1(p)$ et $f_2(p)$ ont des valeurs communes en A et C. Si le modèle est conservatif, il n'y a pas de déformations permanentes après un cycle de charge et de décharge. Soit, on doit obtenir :

$$\Delta \varepsilon_{vol} = \int_{ABC}d\varepsilon_{vol} + \int_{CDA}d\varepsilon_{vol} = 0$$ (3.20.20)

$$\Delta \varepsilon_{q} = \int_{ABC}d\varepsilon_{q} + \int_{CDA}d\varepsilon_{q} = 0$$ (3.20.21)

Maintenant, on va traiter deux cas où le module d'Young varie :

• le coefficient de Poisson est constant donc, le module de cisaillement est variable
• le module de cisaillement est constant donc, le coefficient de Poisson est variable.