G est constant

Dans ce cas, le coefficient de Poisson a pour expression en fonction de la pression moyenne :

$$\nu = \frac{3p-2G \kappa}{6p+2G \kappa}.$$ (3.20.23)

Ainsi, l'équation (3.4.20) devient :

$$%%\label{volnu(p)} \Delta \varepsilon_{vol}= \int_{AC} \frac{dp}{K(p)} + \int_{CA} \frac{dp}{K(p)}= 0 ,$$

et l'équation (3.4.21) devient :

$$\Delta \varepsilon_q = \int_{AC} \frac{1+ \nu(p)}{3(1-2\nu(p))}\... ...p)}{K(p)}dp + \int_{CA} \frac{1+ \nu(p)}{3(1-2\nu(p))}\frac{f'_1(p)}{K(p)}dp .$$ (3.20.24)

En posant $F(p)=f_1(p)-f_2(p)$ qui en A et en C est nulle, (3.4.24) devient :

$$\Delta \varepsilon_q = \int_{AC} \frac{1+ \nu(p)}{3(1-2\nu(p))}\frac{F'(p)}{K(p)}dp.$$ (3.20.25)

En remplaçant $\nu(p)$ par (3.4.23), (3.4.25) devient :

$$\Delta \varepsilon_q = \int_{AC} \frac{p}{2 G \kappa}\frac{F'(p)}{K(p)}dp.$$ (3.20.26)

Or $K(p)$ a pour expression :

$$K(p)=\frac{p}{\kappa}.$$ (3.20.27)

Soit, en mettant (3.4.27) dans (3.4.26) on obtient :

$$\Delta \varepsilon_q = \int_{AC} \frac{F'(p)}{2 G} dp.$$ (3.20.28)

Puisque le module de cisaillement $G$ ne dépend pas de la pression moyenne $p$, l'intégrale se résume à une intégrale sur la fonction $F'(p)$ entre les points $A$ et $C$. Or, en ces points, la fonction $F(p)$ est nulle. Ainsi, la déformation déviatoire est nulle pour un cycle de chargement en contrainte. Le modèle est donc conservatif. Cependant, ce modèle peut conduire à des valeurs du coefficient de Poisson négatives, ce qui n'est pas physiquement raisonnable. L'alternative qui vient d'être explorée ne donne pas la possibilité d'obtenir de solution pour modéliser le comportement élastique non-linéaire. La résolution de ce problème passe par un autre cheminement. Par exemple, déterminer un potentiel élastique dont dérive la loi de comportement. C'est l'objet de la section suivante.