Hyperélasticité non-linéaire isotrope

Il est possible de représenter le tenseur des contraintes comme étant une fonction du tenseur des déformations, dans le cas où l'on ne considère pas l'anisotropie du matériau. Cette fonction du tenseur des déformations a la possibilité d'être exprimée sous forme d'une suite pôlynomiale :

$$\boldsymbol{\sigma}= \alpha_0 \boldsymbol{I} + \alpha_1 \boldsymbol{\varepsilon} + \alpha_ 2 \boldsymbol{\varepsilon}^2$$ (3.20.29)

Les coefficients $\alpha_i$ sont fonctions des invariants du tenseur des deformations ( $tr(\boldsymbol{\varepsilon}^j)$ et $j\in{1,2}$).

$$\alpha_0 = a_0 + b_0 tr(\boldsymbol{\varepsilon}) + c_0 tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)$$

$$\alpha_1 = a_1 + b_1 tr(\boldsymbol{\varepsilon}) + c_1 tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)$$

$$\alpha_2 = a_2 + b_2 tr(\boldsymbol{\varepsilon}) + c_2 tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)$$

On suppose que le comportement est hyperélastique. Donc, le tenseur des contraintes dérive d'un potentiel W de la façon suivante :

$$\boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}$$ (3.20.30)

Ce potentiel W dépend des invariants du tenseur des déformations.

$$W=W(tr(\boldsymbol{\varepsilon}),tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2),tr(\boldsymbol{\varepsilon}^3))$$ (3.20.31)

En tenant compte de l'équation (3.4.31) dans l'équation (3.4.30), on obtient pour le tenseur des contraintes :

$$\boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial W}{\partial tr(\boldsymbol{... ...\partial W}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon}^3)} \boldsymbol{\varepsilon}^2$$ (3.20.32)

Dans un état de référence non distordu ($\sigma_u$ correspondant à la non sollicitation), on a :

$$\boldsymbol{\sigma}_u = a_0$$

Si de plus, cet état de référence est l'état naturel, alors : $a_0 = 0$. La condition d'intégrabilité ou théorème de Shwartz donne les relations suivantes :

$$\frac{\partial}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon})} \frac{\pa... ...mbol{\varepsilon}^2)} \frac{\partial W}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon})}$$ (3.20.33)

$$\frac{\partial}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon})} \frac{\pa... ...mbol{\varepsilon}^3)} \frac{\partial W}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon})}$$ (3.20.34)

$$\frac{\partial}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)} \frac{\... ...ol{\varepsilon}^3)} \frac{\partial W}{\partial tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)}$$ (3.20.35)

L'équation (3.4.33) donne $1/2 b_1 = c_0$, l'équation (3.4.34) donne $b_2 = 0$, et l'équation (3.4.35) donne $c_2 = 0$. Ainsi, dans le cas de l'hyperélasticité non-linéraire isotrope, le tenseur des contraintes a pour expression en fonction du tenseur des déformations :

$$\boldsymbol{\sigma} = (b_0 tr(\boldsymbol{\varepsilon})+\frac{1}... ...ymbol{\varepsilon}^2))\boldsymbol{\varepsilon} +a_2 \boldsymbol{\varepsilon}^2$$ (3.20.36)

Les constantes $a_1$, $a_2$, $b_0$, $b_1$, $c_1$ et $c_2$ seront déterminées à partir des résultats expérimentaux (compression simple, compression triaxiale). Ces constantes n'en restent pas moins des fonctions d'une variable interne qui peut être par exemple la densité^3.2 ou la déformation volumique plastique^3.3. Dans cette modélisation, il y a 6 constantes à déterminer pour pouvoir décrire le caractère non-linéaire. Ce nombre important de constantes implique des difficultés à les caler. L'ensemble de ces constantes étant toutes homogènes à une contrainte. De plus, les coefficients sont difficiles à interpréter. Cependant, cette proposition de modèle présente l'avantage de dériver d'un potentiel, prenant en compte la conservation de l'énergie. C'est donc cette procédure qui sera retenue pour établir le modèle élastique non-linéaire anisotrope.