Élasticité linéaire orthotrope de révolution

L'une des caractéristiques qui a été observée dans la section 2.7 page est l'anisotropie. La forme de l'échantillon testé n'autorisait que l'appliquation de sollicitations axisymétriques. Le type même de sollicitations à conduit à supposer que le comportement est orthotrope de révolution. Afin de prendre en compte la particularité de ce comportement, il est dans un premier temps exposé un modèle d'élasticité linéaire orthotrope de révolution. L'objectif de la présentation de ce modèle est de pouvoir observer les différences avec un modèle linéaire isotrope ainsi que la prise en compte de la direction privilégiée. Il est entendu que ce modèle n'est pas en mesure de modéliser le comportement élastique des poudres de fer mises en forme par compression en matrices. L'orthotropie de révolution est une sous-classe d'orthotropie qui se caractérise par un plan d'isotropie en chaque point du matériau. La normale à ce plan correspond à l'axe de révolution des symétries du groupe $\mathcal{S}$ évoqué dans la section 3.2.3 en page . Si on prend dans un repère rectangulaire le plan défini par les directions 1 et 2 comme plan d'isotropie alors, il y a cinq modules de l'ingénieur pour décrire ce modèle :

$$E_T \qquad E_L \qquad \nu_{LT} \qquad \nu_{TT} \quad \textrm{et} \quad G_{LT}$$

où l'indice T signifie "Transverse à l'axe de révolution" et L signifie "Longitudinal à cet axe". Une expression de la relation entre déformation et contrainte est donnée par l'équation (3.5.1) :

$$\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \ \varepsilon_{22} \ \var... ... \sigma_{33} \ \sigma_{12} \ \sigma_{13} \ \sigma_{23} \end{pmatrix}.$$ (3.21.1)

Avec :

$$\frac{\nu_{LT}}{E_L}=\frac{\nu_{TL}}{E_T} \quad et \quad G_{TT} = \frac{E_T}{2(1+\nu_{TT})}.$$

En considérant les composantes correspondant aux diagonales des tenseurs de déformations et de contraintes, il est possible de remarquer l'emprunte de l'axe de révolution (direction de compression 33) et le plan d'isotropie (plan de cisaillement 12). Ce type de définition semble plus approprié à notre problème, notamment pour les pièces axi-compressées, la direction longitudinale correspondant à l'axe de compression. Cependant, ce type de modèle ne permet pas de prendre en compte le caractère non-linéaire. Ceci fait l'objet de la section suivante.