Élasticité non-linéraire orthotrope de révolution

L'orthotropie de révolution implique que le comportement du matériau possède une direction privilégiée, un axe de révolution des symétries du comportement. Dans ce cas, la direction est l'intersection des plans de symétries. Cette direction a été mise en évidence dans les expériences présentées dans la section 2.7 page . Notons par $\vec a$ cette direction privilégiée. Á partir de ce vecteur, il est possible de construire un tenseur d'ordre deux associé à cette direction dans l'espace des contraintes ou des déformations.

$$\boldsymbol{M} = \vec a \otimes \vec a,$$ (3.22.1)

où $\otimes$ symbolise le produit tensoriel ( $M_{ij} = a_i a_j$). Pour prendre en considération cette direction privilégiée dans la loi de comportement, Boehler [BOE97] introduit dans l'équation (3.4.29) le tenseur $\boldsymbol{M}$ en combinaison avec le tenseur des déformations ainsi que les invariants qui en découlent. On obtient ainsi :

$$\boldsymbol{\sigma} = \alpha'_0 \boldsymbol{I} + \alpha'_1 \bold... ...ot \boldsymbol{M} + \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}^3) %%\dots$$ (3.22.2)

En appliquant le théorème de Cayley-Hamilton ^3.4, l'équation (3.6.2) devient :

$$\boldsymbol{\sigma} = \alpha_0 \boldsymbol{I} + \alpha_1 \boldsy... ...on}^2 \cdot \boldsymbol{M} + \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}^2)$$ (3.22.3)

où les coefficients $\alpha_i$ sont des combinaisons linéaires de $tr(\boldsymbol{\varepsilon})$, $tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2)$, $tr(\boldsymbol{\varepsilon M})$ et $tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2 \boldsymbol{M})$. En supposant que le solide soit hyperélastique, i.e. la réponse mécanique $\boldsymbol{\sigma}$ dérive de la fonction énergie de déformation W :

$$\boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}$$ (3.22.4)

avec

$$W = W \left( tr(\boldsymbol{\varepsilon}), tr(\boldsymbol{\varep... ...boldsymbol{M}), tr(\boldsymbol{\varepsilon}^2 \cdot \boldsymbol{M}) \right).$$

L'auteur en déduit une forme générale du comportement non-linéaire orthotrope de révolution avec 13 constantes matériaux. Pour pouvoir déterminer autant de paramètres, il faut beaucoup d'expériences très précises.