Cas linéaire

Dans le cas de l'élasticité linéaire orthotrope de révolution, Boehler [BOE97] a montré que la loi de comportement pouvait s'écrire comme suit :

$$\boldsymbol{\sigma} = (b_0 I_1^{(\varepsilon)} + b_1 I_{M1}^{(\v... ...l{\varepsilon} + a_3 (\boldsymbol{M \cdot \varepsilon + \varepsilon \cdot M}),$$ (3.22.5)

avec $I_1^{(\boldsymbol \varepsilon)}=tr(\varepsilon)$ et $I_{M1}^{(\varepsilon)} = tr(\boldsymbol{M \varepsilon})$. Or, la représentation classique fait état d'un tenseur d'ordre quatre (3.6.6) plutôt qu'une combinaison de tenseurs d'ordre deux (3.6.5).

$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{A : \varepsilon},$$ (3.22.6)

avec

$$\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & ... ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & C_{66} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{pmatrix}$$

Or, il y a une correspondance entre les coefficients du tenseur $\pmb A$ et les coefficients de l'équation (3.6.5).

$$b_0 = C_{23}$$

$$b_1 = C_{12}-C_{23}$$

$$c_1 = C_{11} + C_{22} - 2C_{12} - 4C_{66}$$

$$a_2 = C_{22} - C_{23}$$

$$a_3 = 2C_{66} - C_{22} + C_{23}$$

Ce système d'équations peut être inversé afin d'exprimer les coefficients du tenseur $\pmb A$ (matrice de rigidité) en fonction des coefficients de l'équation (3.6.5) :

$$C_{11} = b_0 + 2 b_1 + c_1 + a_2 + 2 a_3$$

$$C_{22} = b_0 + a_2$$

$$C_{12} = b_0 + b_1$$

$$C_{23} = b_0$$

$$C_{66} = \frac{a_2 + a_3}{2}$$

De plus, les coefficients de la matrice de rigidité peuvent s'exprimer en fonction des modules de l'ingénieur de la façon suivante :

$$E_L = C_{11} - \frac{2 C_{12}^2}{C_{22}+C_{23}}$$

$$\nu_{LT} = \frac{C_{12}}{C_{22}+C_{23}}$$

$$E_T = C_{22}+ \frac{C_{12}^2(C_{22}-2 C_{23}) + C_{11}C_{23}^2}{C_{12}^2 -C_{11}C_{22}}$$

$$\nu_{TL} = \frac{C_{12}(C_{23}-C_{22})}{C_{12}^2-C_{11}C_{22}}$$

$$\nu_{TT'} = \frac{C_{12}^2-C_{11}C_{23}}{C_{12}^2-C_{11}C_{22}}$$

$$G_{LT} = C_{66}$$

$$\frac{E_L}{\nu_{LT}} = \frac{E_T}{\nu_{TL}}.$$

Ainsi, on peut exprimer les modules de l'ingénieur en fonction des coefficients de l'équation (3.6.5) :

$$\begin{array}{rl} E_L = & \displaystyle\frac{1}{2b_0+a_2}\le... ...}{\nu_{LT}} = & \displaystyle\frac{E_T}{\nu_{TL}}\ \end{array}$$ (3.22.7)

De façon réciproque, il est possible d'exprimer les coefficients de l'équation (3.6.5) en fonction des modules de l'ingénieur.

$$\begin{array}{rcl} b_0 & = & \displaystyle\frac{E_T}{\alpha}... ... & 2 G_{LT} - \displaystyle\frac{E_T}{1+\nu{TT}} \ \end{array}$$ (3.22.8)

avec

$$\alpha = (1+\nu_{TT})\left( 1+ \nu_{TT} - 2 \nu_{LT}^2 \displaystyle\frac{E_T}{E_L} \right)$$

L'intérêt de cette écriture n'est pas immédiat, mais est très utile dans la partie 3.7.2 page qui suit.