Application au cas de l'élasticité orthotrope de révolution non-linéaire

Pour cette application, le tenseur Z sera le tenseur des déformations et le tenseur dual sera le tenseur des contraintes. Pour ce cas, le potentiel sera noté W. On définit la déformation équivalente comme suit :

$$\varepsilon_{eq}^2 = b_0 I_1^2 + 2 b_1 I_1 I_{M1} + c_1 I_{M1}^2 + a_2 I_2 + 2 a_3 I_{M2}.$$ (3.23.10)

De façon similaire à l'équation (3.7.2), on a :

$$\boldsymbol \sigma = \frac{\partial W (\varepsilon_{eq})}{\partial \boldsymbol \varepsilon}$$ (3.23.11)

En utilisant la déformation équivalente (3.7.10) dans l'équation (3.7.11), on obtient :

$$\boldsymbol \sigma = \frac{1}{\varepsilon _{eq}}\frac{\partial W}... ...psilon + a_3 (\boldsymbol{M.\varepsilon} + \boldsymbol{\varepsilon .M}) \right)$$ (3.23.12)

Cette équation (3.7.12) montre une multiplication entre une fonction scalaire et une structure tensorielle. La structure tensorielle n'est autre que la loi de comportement élastique orthotrope de révolution linéaire. Ainsi, la fonction scalaire peut permettre de rendre non-linéaire la loi de comportement élastique. Dans le cas où l'expression du potentiel est $W = \varepsilon _{eq}^2/2$, le modèle ainsi obtenu n'est autre que celui de l'élasticité linéaire orthotrope de révolution. Étant donné que le comportement asymptotique est linéaire (tend à être linéaire lorsque $\varepsilon_{eq}$ devient grand), le potentiel doit faire intervenir le terme $\varepsilon _{eq}^2/2$. Les résultats d'expériences dégagent la forme donnée par l'équation 3.7.13 pour le potentiel proposé par Frachon & al. [FID$^+$01].

$$W = c \varepsilon _{eq} + \frac{d \varepsilon _{eq}^2}{2} + (a-c)\arctan{(\varepsilon _{eq})} + \frac{b-d}{2} \ln{(1+ \varepsilon _{eq}^2)}$$ (3.23.13)

Ce modèle ainsi exprimé, généralise le comportement élastique dans la limite de l'orthotropie de révolution. Cette généralité englobe l'élasticité linéaire isotrope, non-linéaire isotrope et linéaire orthotrope de révolution ainsi que le montre le tableau 3.7.1.

Tableau 3.7.1: flexibilité du modèle non-linéaire orthotrope de révolution