Cas général isotrope

Pour l'explication de cette technique des quantités équivalentes, on considère le tenseur $\boldsymbol{Z}$ et son dual, le tenseur $\boldsymbol{Z}^*$. On commence par définir une quantité équivalente $Z_{eq}$ par :

$$Z_{eq}^2 = f \left( I_1^{(Z)} \right)^2 + c I_2^{(Z)},$$ (3.23.1)

où $I_1^{(Z)} = tr(\boldsymbol Z)$ et $I_2^{(Z)} = tr(\boldsymbol Z^2)$. On suppose que le tenseur dual dérive d'un potentiel $\Omega$ fonction de $Z_{eq}$.

$$\boldsymbol Z^* = \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial \boldsymbol Z}.$$ (3.23.2)

Ce qui donne en d'autres termes :

$$\boldsymbol Z^* = \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}}... ...ga(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}}(2 f I_1^{(Z)} \boldsymbol I + 2 c \boldsymbol Z )$$ (3.23.3)

Ainsi, il est possible de déterminer la quantité équivalente duale $Z^*_{eq}$ . Pour cela, il faut dans un premier temps, définir les invariants du tenseur dual. Soit $I_1^{(Z^*)} = tr(\boldsymbol Z^*)$ et $I_2^{(Z^*)} = tr(\boldsymbol{Z}^{*2})$ ces invariants.

$$I_1^{(Z^*)} = \frac{1}{Z_{eq}} \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}} (6 f + 2 c) I_1^{(Z)}$$ (3.23.4)

$$I_2^{(Z^*)} = \left( \frac{1}{Z_{eq}} \frac{\partial \Omega(Z_{e... ...) \left( (12 f^2 + 4 f c) \left( I_1^{(Z)} \right)^2 + 4 c^2 I_2^{(Z)} \right)$$ (3.23.5)

En prenant le carré de l'équation (3.7.4), on arrive à :

$$f \left(I_1^{(Z)} \right)^2 = \frac{f \left( I_1^{(Z*)} \right)^... ... \frac{1}{Z_{eq}} \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}} \right)^2}.$$ (3.23.6)

Et l'équation (3.7.5) nous conduit à :

$$c I_2^{(Z)} = \left( S_2 - \frac{12 f + 4 c}{(6 f + 2 c)^2} f \l... ...e \frac{1}{Z_{eq}} \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}} \right)^2}.$$ (3.23.7)

En utilisant les équations (3.7.6) et (3.7.7) dans l'expression (3.7.1), on a :

$$\boldsymbol Z_{eq}^2 = \left( \frac{f \left( I_1^{(Z^*)} \right) ... ...e \frac{1}{Z_{eq}} \frac{\partial \Omega(Z_{eq})}{\partial Z_{eq}} \right)^2}.$$ (3.23.8)

En plaçant l'équation (3.7.8) dans la définition (3.7.2), on a finalement :

$$\left( Z_{eq}^* \right)^2 = \frac{-12 f^2 \left( I_1^{(Z^*)} \right)^2}{4 c (6 f + 2 c)^2} + I_2^{(Z^*)}$$ (3.23.9)

Il est ainsi établi la quantité équivalente complémentaire en fonction des invariants du tenseur dual. Ceci met en lumière la capacité d'inversion de ces relations. Ainsi, le potentiel à la possibilité d'être exprimé en fonction de l'une ou de l'autre des quantités équivalentes. Cette technique est élargie à l'orthotropie de révolution non-linéaire dans le cas d'un modèle élastique ainsi qu'il est exposé par la suite.