Loi d'évolution des paramètres

Dans le cas qui nous préoccupe, l'anisotropie que l'on observe est évolutive. En effet, lorsque l'on considère la poudre lâche, on peut supposer sans trop d'erreur que le comportement est isotrope. Donc, l'anisotropie apparaît avec la densification. Or, cette densification du matériau est due aux phénomènes irréversibles. En effet, si l'on suppose que la densification a pour source les phénomènes réversibles et notamment l'élasticité, lorsque l'état de contraintes est nul, la densification disparaîtrait. Donc, seuls les phénomènes irréversibles et en particulier la plasticité marque l'histoire du matériau. Ainsi, il y a une évolution des paramètres de la loi élastique fonction des phénomènes irréversibles. Parmi les paramètres de la loi élastique, on distingue les paramètres qui forment l'anisotropie et les autres qui sont liés à un comportement isotrope. Les paramètres de l'anisotropie sont $b_1$, $c_1$ et $a_3$. Si la réponse plastique est isotrope, le comportement élastique n'a pas de raison d'être anisotrope. On peut donc dire que ces paramètres sont nuls, ce qui dégénère le modèle en une loi isotrope. L'une des façons d'obtenir ce résultat est de faire dépendre ces paramètres de la déformation déviatorique plastique équivalente définit par :

$$E_2^{pl} = tr ((\boldsymbol{e}^{pl})^2) = I_2^{(\varepsilon)pl}-\frac{1}{3}(I_1^{(\varepsilon)pl})^2$$

$$\boldsymbol{e}^{pl} = \boldsymbol{\varepsilon}^{pl}-\frac{1}{3}I_1^{(\varepsilon)pl} \boldsymbol{I}$$

On remarque que les paramètres $b_1$, $c_1$ et $a_3$ sont fonction des premiers et second invariants des déformations plastiques. En ce qui concerne les paramètres relatifs au comportement sphérique ($b_0$ et $a_2$), on peut supposer dans une première approximation qu'ils dépendent du premier invariant des déformations plastiques. Seules les données expérimentales peuvent mettre en évidence cette dépendance. Dans le cas d'une anisotropie plus générale, les paramètres d'anisotropie peuvent dépendre de chacune des composantes du tenseur des déformations plastiques. L'ensemble de ces variations de l'anisotropie et de la non-linéarité du comportement élastique peuvent être prises en compte au travers de quantités qui permettent de simplifier les relations. Ceci est l'objet de la section suivante qui introduit la notion de quantités équivalentes et l'applique au cas de l'élasticité non-linéaire orthotrope de révolution.