Le modèle de Drucker-Prager/Cap

Ce modèle ayant été largement présenté par Pavier [PAV98], cette partie ne présentera que le modèle tel qu'il est utilisé dans le code de calcul Abaqus [HKS98a]. Sous cette forme, ce modèle se décompose en deux surfaces. Une première surface de rupture non-associée et une deuxième surface de cap associée comme indiqué sur la figure 4.4.5 ou la figure 4.4.6.

Figure 4.4.5: Représentation des surfaces de charges pour le modèle de Drucker-Prager/Cap dans le plan des contraintes isotropes (p) contraintes déviatoires (q)

Figure 4.4.6: Représentation des surfaces de charge pour le modèle de Drucker-Prager/Cap dans l'espace des contraintes principales

Il y a une région de transition entre les mécanismes principaux de manière à introduire une continuité entre les surfaces (pas de point singulier). Les surfaces de charges sont les suivantes.

• La surface de rupture de Drucker-Prager dont l'équation s'écrit :

  $$F_s = q - p \tan \beta - d = 0.$$ (4.28.6)

  
  
  Ce mécanisme est parfaitement plastique (pas d'écrouissage).
• La surface de charges du Cap d'équation :

  $$F_c = \sqrt{(p-p_a)^2+\left(\displaystyle \frac{Rq}{(1+ \alpha - \alpha / \cos \beta)} \right)^2}- R(d+p_a \tan \beta) = 0.$$ (4.28.7)

  
  
  Ce mécanisme est écrouissable.
• La surface de transition a pour équation :

  $$F_t = \sqrt{(p - p_a)^2 + \left(q - \left(1 - \displaystyle \frac... ...beta} \right)(d + p_a \tan \beta) \right)^2}- \alpha (d + p_a \tan \beta) = 0.$$ (4.28.8)

  
  
  Ce mécanisme est similaire à la surface de Drucker-Prager, il est parfaitement plastique.

L'écrouissage est donné par une évolution de la variable $p_b$ en fonction de la déformation volumique plastique $\varepsilon_{vol}^{pl}$. Or, c'est le paramètre $p_a$ qui intervient dans les équations (4.4.7) et (4.4.8). La relation qui lie la variable $p_a$ et la variable $p_b$ est la suivante :

$$p_a = \frac{p_b - Rd}{1 + R \tan \beta}.$$

Les écoulements plastiques sont définis par les potentiels plastiques. Le potentiel associé aux surfaces de charge de Drucker-Prager et de transition est commun et est :

$$G_s = \sqrt{((p_a - p) \tan \beta)^2 + \left( \displaystyle \frac{q}{1+ \alpha - \alpha / \cos \beta} \right)^2}.$$ (4.28.9)

Le potentiel associé à la surface de charges du Cap est donné par :

$$G_c = \sqrt{(p - p_a)^2 + \left( \displaystyle \frac{Rq}{1+ \alpha - \alpha / \cos \beta} \right)^2}.$$ (4.28.10)

Il est a noter que ces potentiels forment une surface de potentiel continue comme l'indique la figure 4.4.7.

Figure 4.4.7: Représentation des potentiels d'écoulement dans un plan p-q

Tel qu'il vient d'être présenté, le modèle ne peut qu'être durcissant. Dans aucun cas, celui-ci ne peut présenter de l'adoucissement étant donné que la surface de Drucker-Prager est parfaitement plastique. Le durcissement est donné par la surface écrouissable du Cap. Étant donné un état de contraintes qui atteint la surface du Cap, si celui-ci tend à croître, la déformation volumique plastique augmente et par là même, modifie la position du Cap. Par contre, si l'état de contraintes tend à diminuer, le comportement est élastique. La loi d'écrouissage est donnée par une relation entre la déformation volumique plastique ( $\varepsilon_v^{pl}$) et le paramètre $p_b$. Cette relation est fonction du matériau étudié.