Homothétie isotrope, translation cinétique et rotation anisotrope de l'espace des contraintes

Des argiles aux comportements anisotropes (sédimentation) ont été étudiées par Gajo & al. [GW01]. Deux types d'argiles ont ainsi été comparées : l'argile naturelle et l'argile remaniée. Dans le cas de l'argile naturelle, un comportement anisotrope est immédiatement détectable. Pour l'argile remaniée initialement isotrope, l'anisotropie plastique est induite par l'histoire de chargement. Ces auteurs proposent de "normaliser" l'espace des contraintes afin de représenter la limite élastique par une unique surface. Plus précisément, l'espace décrit par les invariants est normé. L'opération de normalisation de cet espace prend en compte trois types d'écrouissages :

• l'écrouissage isotrope,
• l'écrouissage cinématique et
• l'écrouissage anisotrope dénommé "écrouissage tournant".

La surface de charges est supposée posséder un centre (à l'intérieur de la surface fermée convexe). Dans l'espace des invariants des contraintes "réelles" (de Cauchy), l'état de contrainte est donné par le vecteur de composantes $(p,q)$ (voir figure 4.5.7). La composante $p$ est donnée pour une compression triaxiale de révolution comme le résultat de l'addition de la contrainte axiale et de deux fois la contrainte radiale, le tout étant divisé par -3. La composante $q$ est la différence entre la contrainte axiale et la contrainte radiale. Des valeurs négatives de la composante $q$ sont ainsi représentées sur la figure 4.5.7.

Figure 4.5.7: L'espace des contraintes "réelles" (à gauche) est transformé en un espace des contraintes "normalisées" (à droite)

Afin de centrer la surface à l'origine d'un espace de contrainte modifiés, le tenseur $\boldsymbol{\sigma_{\alpha}}$ est retirer à $\boldsymbol \sigma$.

$$\boldsymbol \sigma ^{(1)} = \boldsymbol \sigma -\boldsymbol{\sigma_\alpha}$$

Cette première transformation est illustrée par la figure 4.5.8.

Figure 4.5.8: Modification de l'espace des contraintes par la prise en compte de l'écrouissage cinématique

Ainsi est pris en compte l'écrouissage cinématique. À la suite de quoi, ce tenseur modifié $\boldsymbol \sigma^{(1)}$ est divisé par la contrainte isotrope $p_{b0}$ représentant l'écrouissage isotrope.

$$\boldsymbol \sigma ^{(2)} = \frac{1}{p_{b0}}( \boldsymbol \sigma - \boldsymbol{\sigma_\alpha})$$

Cette équation est illustrée par la figure 4.5.9.

Figure 4.5.9: Modification de l'espace des contraintes par la prise en compte de l'écrouissage isotrope

Enfin, une rotation apparente est effectuée sur la surface ainsi que le donne l'équation (4.5.16) par une diminution des composantes déviatoires de l'espace des contraintes par un tenseur déviatoire $\boldsymbol \beta$. Cette dernière opération permet de prendre en compte l'écrouissage tournant.

$$\overline{\overline{\boldsymbol \sigma}} = \frac{\boldsymbol \sig... ... \sigma - \boldsymbol{\sigma_\alpha}}{p_{b0}} \right) \cdot \boldsymbol \beta$$ (4.29.16)

où $\boldsymbol \delta$ et le tenseur unité d'ordre deux. Cette équation est illustrée par la figure 4.5.10.

Figure 4.5.10: Modification de l'espace des contraintes par la prise en compte de l'écrouissage tournant

Il est alors intéressant de connaître l'évolution de ces écrouissages et notamment, l'écrouissage tournant qui donne l'évolution de l'anisotropie au cours de la compression d'argiles remaniées. Ces différents écrouissages sont fonctions du tenseur des vitesses de déformations plastiques ( $\boldsymbol{\dot{\varepsilon}}^p$) donné par la loi d'écoulement (4.5.17).

$$\boldsymbol{\dot{\varepsilon}}^p = \frac{1}{H} [\boldsymbol{m} \o... ...{\overline{\boldsymbol{n}}}] : \dot{\overline{\overline{\boldsymbol \sigma}}},$$ (4.29.17)

où $\overline{\overline{\boldsymbol{n}}}$ est la normale unitaire à la surface de charges, $\boldsymbol{m}$ est la direction d'écoulement plastique dans l'espace réel des contraintes et $H$ et le module plastique. Les écrouissages sont ainsi donnés par les relations suivantes :

• écrouissage isotrope

  $$\dot{p}_{b0} = \frac{\partial p_{b0}}{\partial \varepsilon^p_v} ... ...^p_v + \frac{\partial p_{b0}}{\partial \varepsilon^p_s} \dot{\varepsilon}^p_s$$ (4.29.18)

  
  
  où $\varepsilon^p_v$ est la déformation volumique plastique et $\varepsilon^p_s$ est la déformation déviatoire plastique
• écrouissage cinématique

  $$\dot{\boldsymbol \sigma}_\alpha = \boldsymbol A : \dot{\boldsymbol \varepsilon}^p$$ (4.29.19)

  
  
  où $\boldsymbol A$ est une tenseur d'ordre quatre
• écrouissage tournant

  $$\dot{\boldsymbol \beta} = \boldsymbol B : \dot{\boldsymbol \varepsilon}^p$$ (4.29.20)

  
  
  où $\boldsymbol B$ est un tenseur d'ordre quatre.

La fonction $p_{b0}$ de l'équation (4.5.18), les tenseurs $\boldsymbol A$ et $\boldsymbol B$ des équations (4.5.19) et (4.5.20) respectivement ne peuvent être déterminées que par l'expérience et l'observation des résultats de celles-ci. Ainsi, les auteurs Gajo & al. [GW01] ont considéré deux applications :

• argile naturelle dont l'anisotropie est inhérente
• argile remaniée qui est isotrope avant sollicitation.

La surface de charges dans l'espace normé est donnée par l'équation (4.5.21).

$$f = J + \left( \frac{I^2}{9} - 1 \right) \frac{M_c^2}{3} ,$$ (4.29.21)

où $M_c$ est la pente de la droite d'état critique, $I$ est la contrainte moyenne et $J$ est la contrainte déviatoire de l'espace normé. Ici, nous ne nous intéresserons qu'à la deuxième application, car c'est pour celle-ci que l'anisotropie est induite et se rapproche le plus de ce qui se passe pour les poudres de fer. L'anisotropie d'un sol remanié croît sous l'application d'un chargement déviatoire. Afin d'analyser la rotation de la surface dans l'espace réel des contraintes, il est supposé que l'anisotropie induite est principalement pilotée par les incréments de déformations plastiques déviatoires. Pour les états critiques, de grandes déformations ne permettent pas d'induire une anisotropie puisque le sol est constamment remanié. Ainsi, l'évolution de l'anisotropie doit tenir compte de la distance à l'état critique au travers d'une variable noté $\zeta$. L'induction de l'anisotropie donne donc une évolution du tenseur $\boldsymbol \beta$ qui croît depuis zéro pour un état de contrainte isotrope mais décroît vers zéro si l'état de contraintes se rapproche de l'état critique. Une loi d'évolution est alors proposée pour le tenseur $\boldsymbol \beta$ au travers de l'équation (4.5.22).

$$\dot{\boldsymbol{\beta}} = \Lambda \zeta ^{\gamma} \exp (-\chi \zeta ^n \varepsilon ^p_s)\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}^p_s,$$ (4.29.22)

ou $n$, $\gamma$ et $\chi$ sont des paramètres constitutifs, $\varepsilon^p_s$ est l'amplitude de la déformation plastique déviatoire courante et $\Lambda$ est une fonction matérielle exprimé par l'équation (4.5.23).

$$\Lambda = d \left( 1 - \frac{\boldsymbol{\beta : \mu_c}}{\beta_{max} \zeta^n}\right),$$ (4.29.23)

où $\beta_{max}$ est un paramètre, $d$ détermine le rapport pour lequel $\boldsymbol{\beta : \mu_c}$ atteint la valeur de saturation de $\beta_{max} \zeta^n$ et $\boldsymbol \mu_c$ est la direction unitaire de la composante déviatoire de la contrainte ( $\boldsymbol\mu_c = \boldsymbol s_c / \sqrt{\boldsymbol s_c : \boldsymbol s_c }$). Pour l'écrouissage cinématique, la proposition est donné par l'équation (4.5.24).

$$\boldsymbol \sigma_\alpha = \sqrt{3} p_{c0} \boldsymbol\delta + p_{c0} \boldsymbol \beta$$ (4.29.24)

La présence du tenseur $\boldsymbol \beta$ signifie la rotation du grand axe de l'ellipse par rapport à l'axe des contraintes isotropes. De plus, cette présence implique que l'évolution de $\dot{\boldsymbol{\sigma}}_\alpha$ est fonction de $\dot{p}_{c0}$ et de $\dot{\boldsymbol{\beta}}$.