Rotation de l'espace des contraintes

L'origine de l'anisotropie est imputable d'après Oda & al. [OO92] à l'orientation des surfaces de contact entre particules voisines. Le matériau testé est du sable. Deux types d'écrouissage sont ici distingués. Le premier est isotrope et relatif à la dilatance. Le second type est relié à la distribution des normales aux contacts. Il est possible de définir un plan tangent au point de contact de deux grains et une normale à ce plan ainsi que l'illustre la figure 4.5.1.

Figure 4.5.1: Pour des géométries complexes telles que celles des grains de poudre de fer, la normale au contact ne coïncide pas nécessairement avec la jonction des centres. Pour des sphères, cette coïncidence est systématique

Dans le cas de deux sphères, la normale au contact a pour direction la droite qui relie les deux centres des sphères. Une distribution des normales est alors décrite par une fonction scalaire $E(\boldsymbol n)$ qui identifie la pondération relative des contacts de normale unitaire $\boldsymbol n$ dans l'assemblage. Par définition, la distribution $E(\boldsymbol n)$ vérifie la propriété :

$$\int_\Omega E(\boldsymbol n) d\Omega = \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} E(\phi, \theta ) \sin \theta d\theta d\phi = 1$$

où $\Omega$ est l'angle solide égal à la surface d'une sphère de rayon unité, $\boldsymbol n$ est le vecteur normal unitaire du contact. La distribution $E(\boldsymbol n)$ s'exprime en fonction des termes $n_i$ qui sont les composantes du vecteur $\boldsymbol n$ donnée par $n_1 = \sin \theta \cos \phi$, $n_2 = \sin \theta \sin \phi$ et $n_3 = \cos \theta$ par une projection dans un repère orthonormé. Une propriété de cette fonction est la symétrie par rapport au sens de la normale : $E(\boldsymbol n) = E(-\boldsymbol n)$. Une distribution isotrope et aléatoire des orientations de contact est définie par une fonction $E(\boldsymbol n)$ égale à une valeur constante de $E$ pour tout vecteur $\boldsymbol n$.

$$\int_\Omega E(\boldsymbol n) d\Omega = E \int_\Omega d\Omega = 1.$$

La valeur constante de $E$ associée à une distribution aléatoire vaut :

$$E = \frac{1}{4 \pi}$$

La fonction $E(\boldsymbol n)$ est utilisée pour définir un tenseur de structure des contacts noté $\boldsymbol \xi$.

$$\boldsymbol \xi = \int_\Omega \boldsymbol n \otimes \boldsymbol n E(\boldsymbol n) d\Omega,$$

Les composantes $\xi_{ij}$ de ce tenseur de structure peuvent être exprimées en coordonnées sphériques par :

$$\xi_{ij} = \int_\Omega n_i n_j E (\boldsymbol n ) d\Omega = \int... ...n_i(\phi, \theta) n_j(\phi, \theta) E(\phi, \theta) \sin \theta d\theta d\phi,$$

où les termes $n_i$ sont les composantes du vecteur $\boldsymbol n$ données par $n_1 = \sin \theta \cos \phi$, $n_2 = \sin \theta \sin \phi$ et $n_3 = \cos \theta$ par projection dans un repère orthonormé. Il est à noter que ce tenseur est symétrique ( $\xi_{ij} = \xi_{ji}$). Une autre propriété de ce tenseur est que sa trace est unitaire pour toute distribution $E(\boldsymbol n)$.

$$tr(\boldsymbol \xi) = tr \left(\int_\Omega \boldsymbol n \otimes ... ... \right) E(\boldsymbol n) d\Omega = \int_\Omega E(\boldsymbol n) d\Omega = 1$$

Dans le cas d'une distribution isotrope des orientations de contact, il vient une forme particulière pour le tenseur de structure :

$$\xi_{ij} = \frac{1}{3} \delta_{ij}.$$

Cette description qui tient compte en partie de la structure microscopique a pour vocation de décrire l'établissement et l'évolution de l'anisotropie. Un intérêt particulier doit ainsi être porté sur les variations de contact induites par le chargement imposé. Par considération des deux premiers invariants du tenseur $\boldsymbol \xi$, il apparaît que les évolutions de la structure du réseau de contact modifient seulement les valeurs du second invariant de $\boldsymbol \xi$. En effet :

$$I_1^{(\xi)} = tr(\boldsymbol \xi) = 1 \Rightarrow \ tr(d\boldsymbol \xi) = 0.$$

$$J_2^{(\xi)} = \frac{1}{2}(\boldsymbol\xi - \frac{1}{3}\boldsymbol I ):(\boldsymbol\xi - \frac{1}{3}\boldsymbol I )$$

Ceci implique que l'incrément $d\boldsymbol \xi$ est un tenseur déviatoire. Puisque l'évolution des contacts est due au chargement imposé, il est alors possible de supposer que $d\boldsymbol \xi$ peut être relié à l'incrément de la partie déviatoire du tenseur des contraintes. Cette supposition conduit logiquement à souligner qu'un ensemble de grains muni d'une répartition initiale de contact aléatoire restera aléatoire si un état de compression isotrope lui est appliqué (les composantes $\xi_{ij}$ restent égales à $\frac{1}{3} \delta_{ij}$ au cours de la densification). Par contre, pour une répartition de contact initialement aléatoire en fin de remplissage, une direction privilégiée de contact parallèle à l'axe de compression va s'établir au cours d'une compression en matrice comme l'illustre la figure 4.5.2(B).

Figure 4.5.2: Évolution de la forme des grains au cours de la compression en matrice. (A) au remplissage, (B) en cours de compression, (C) densification complète

Les effets de la densification sur la structure du réseau de contacts peuvent être ainsi distingués. Le chargement isotrope et la compression en matrice diffèrent par la valeur du second invariant de $\boldsymbol \xi$ (respectivement nulle et non nulle). Pour l'exemple de la compression en matrices, les directions principales majeures des tenseurs de structure ( $\boldsymbol \xi$) et de contraintes ( $\boldsymbol \sigma$) sont confondues. La direction principale majeure fait référence à la direction du vecteur propre associé à la valeur propre de valeur absolue maximum. Pour des distributions de contacts initialement non-aléatoires ou pour des histoires de chargements complexes, les deux directions majeures citées ci-dessus ne coïncident pas a priori. Afin de tenir compte de ces situations, Oda & al. [OO92] proposent de définir un angle $\chi$. Cet angle est défini entre les deux directions principales majeures du tenseur $\boldsymbol \xi$ et de l'incrément de la partie déviatoire $d\boldsymbol s$ du tenseur des contraintes. Les directions principales de $\boldsymbol \sigma$ et $\boldsymbol s$ étant confondues, seule la partie déviatoire de $\boldsymbol \sigma$ contribue à modifier les composantes du tenseur de structure. Finalement, ces auteurs proposent de relier l'évolution du tenseur de structure à l'histoire de chargement imposée par une fonction $f$ dépendante de deux arguments.

$$d\boldsymbol \xi = f\left[\chi, \sqrt{\widehat{J}_2^{(\xi)}}-\sqrt{J_2^{(\xi)}}\right] d\boldsymbol s$$

Les auteurs ne suggèrent pas de forme particulière pour la fonction $f$. Le terme $\widehat{J}_2^{(\xi)}$ est une valeur dite limite de $J_2^{(\xi)}$. Il s'agit d'une valeur de saturation à l'évolution de la fonction $E(\boldsymbol n)$. Cette valeur peut être atteinte par exemple pour des états de contrainte très élevés (compression en matrice) ou par l'apparition d'une fissure associée à un état de cisaillement donné. L'exemple de la fissuration suggère que les évolutions limites des distributions de contact doivent être associées à d'autres phénomènes que la seule action du deuxième invariant des contraintes. En outre, des propriétés particulières de la fonction $f$ sont proposées. Cette fonction est maximum pour $\chi = 90°$ et minimum pour $\chi = 0°$. Ceci signifie que la structure du réseau de contact est fortement (resp. faiblement) modifiée au sens de la valeur de l'incrément $d\boldsymbol \xi$ si l'orientation majoritaire des normales de contact forme un angle de 90^&cir#circ; (resp. de 0^&cir#circ;) par rapport à la direction de la contrainte principale majeure. Cette fonction est également supposée croissante par rapport à $[\sqrt{\widehat{J}_2^{(\xi)}} - \sqrt{J_2^{(\xi)}}]$, avec un minimum en $\sqrt{\widehat{J}_2^{(\xi)}} = \sqrt{J_2^{(\xi)}}$. La structure du réseau des contacts est modifiée d'autant plus rapidement que la valeur du second invariant de $\boldsymbol \xi$ est éloignée de la valeur de saturation associée au mode de chargement appliqué. Suite à l'ensemble de ces considérations en rapport avec les travaux de Oda & al. [OO92] une remarque est à souligner. À partir de considérations en rapport avec une approche micromécanique ( $E(\boldsymbol n)$) ces auteurs proposent un formalisme adapté à une approche phénoménologique permettant de déduire l'évolution du tenseur de structure relatif à un ensemble de grains à l'échelle macroscopique. La mise en uvre de ce formalisme nécessite une définition du tenseur de structure $\boldsymbol \xi$ initiale avant application du chargement. Pour les milieux poreux, la contrainte effective prend en compte la porosité du milieu afin de savoir quelle est la contrainte que subit le squelette. Pour déterminer cette contrainte effective, la surface totale de l'échantillon est diminuée de la surface des port afin de ne prendre en compte que la surface de matière. ainsi, la contrainte effective est le résultat du rapport entre la force appliquée à l'ensemble de la surface et la surface de l a matière. Cette contrainte effective est alors supérieur ou égale à la contrainte apparente qui elle, est le rapport entre la force appliquée et la surface totale. Dans le cas des des milieux pulvérulents, qui sont une sous classe des milieux poreux, il y a en plus une notion d'orientation de la surface de contact. Ainsi, il est possible de définir une surface effective de contact orientée par :

$$\boldsymbol S = N \Delta \widehat{s} \int_\Omega \boldsymbol n \otimes \boldsymbol n E( \boldsymbol n ) d \Omega ,$$ (4.29.4)

où $N$ est le nombre total de contacts dans la section considérée dont la surface moyenne est $\Delta \widehat{s}$ et $\boldsymbol n$ est le vecteur normal à la section observée. C'est alors à cette surface orientée que sera rapporté l'effort pour déterminer la contrainte effective. Par ailleurs, on identifie le tenseur de structure $\boldsymbol \xi$ dans l'équation (4.5.4).

$$\boldsymbol S = N \Delta \widehat{s} \boldsymbol \xi$$

Or, il n'est pas ici souhaité de prendre en compte la contrainte subit par le squelette, mais seulement prendre en compte l'orientation des contacts. Ainsi, le tenseur de structure des normales de contact $\boldsymbol \xi$ est utilisé pour définir un tenseur des contraintes modifiées noté $\boldsymbol T$ tenant compte de ces orientations de contacts. La définition de ce nouveau tenseur est donnée par l'équation (4.5.5).

$$\boldsymbol T = \frac{1}{3} \boldsymbol \xi^{-1} \cdot \boldsymbol \sigma$$ (4.29.5)

Le produit du tenseur de structure avec le tenseur des contraintes de Cauchy implique que la spécificité de la structure du matériau est prise en compte. Ainsi, le tenseur des contraintes modifiées $\boldsymbol T$ prend en considération la propriété d'anisotropie du matériau. Ce tenseur des contraintes modifiées $\boldsymbol T$ n'est pas symétrique ( $\boldsymbol T \neq \boldsymbol T^T$). En effet :

$$\boldsymbol T^T = \left( \boldsymbol \xi ^{-1} \cdot \boldsymbol ... ...i ^{-1} \neq \boldsymbol \xi ^{-1} \cdot \boldsymbol \sigma = \boldsymbol T$$

Cette propriété implique qu'il n'est pas possible d'avoir les mêmes pratiques avec ce tenseur $\boldsymbol T$ qu'avec le tenseur des contraintes de Cauchy $\boldsymbol \sigma$. La démarche proposée pour la détermination de surface de charges relative à un comportement anisotrope consiste à utiliser les invariants de $\boldsymbol T$. En particulier, une surface de charges décrite avec les invariants de $\boldsymbol T$ sous la forme d'un critère isotrope se traduit par un critère de forme anisotrope avec des invariants du tenseur $\boldsymbol \sigma$. Le point d'intérêt à relever consiste finalement en l'utilisation d'une transformation du tenseur de Cauchy pour formaliser l'équation d'une surface de charge sur la base des invariants de $\boldsymbol T$. Ainsi, il est possible de transformer une surface de charges isotrope en une surface de charges anisotrope en remplaçant les invariants de $\boldsymbol \sigma$ par ceux de $\boldsymbol T$. Afin de visualiser cette transformation de l'espace des contraintes et de définir des relations entre les invariants de chacun des tenseurs, il faut considérer des espaces vectoriels dont les bases sont les invariants des tenseurs $\boldsymbol \sigma$ et $\boldsymbol T$. En se limitant aux deux premiers invariants, il vient :

espace vectoriel		espace vectoriel
des invariants de $\boldsymbol \sigma$		des invariants de $\boldsymbol T$
$I_1^{(\sigma)}$	$\longleftrightarrow$	$I_1^{(T)}$
$J_2^{(\sigma)}$		$J_2^{(T)}$

Il existe des relations et leurs réciproques entre ces deux espaces vectoriels :

$$I_1^{(\sigma)} = tr(\boldsymbol \xi \cdot \boldsymbol T)$$ (4.29.6)

$$J_2^{(\sigma)} = \frac{1}{2}\left[ tr \left( \left( \boldsymbol ... ... - \frac{1}{3} tr^2 \left( \boldsymbol \xi \cdot \boldsymbol T \right) \right]$$ (4.29.7)

$$I_1^{(T)} = tr(\boldsymbol \xi^{-1} \cdot \boldsymbol \sigma)$$ (4.29.8)

$$J_2^{(T)} = \frac{1}{2}\left[ tr \left( \left( \boldsymbol \xi ^... ...{3} tr^2 \left( \boldsymbol \xi^{-1} \cdot \boldsymbol \sigma \right) \right]$$ (4.29.9)

Le tenseur de structure $\boldsymbol \xi$ présent dans ces relations souligne la prise en compte des distributions des normales de contact dans le comportement plastique. Les deux dernières relations indiquent en particulier que pour une surface de charge isotrope exprimée avec les invariants de $\boldsymbol T$, sa traduction en contraintes $\boldsymbol \sigma$ fait intervenir deux invariants supplémentaires aux trois invariants initiaux de l'espace des contraintes de Cauchy. Dans le cas général, on obtient :

$$f'(tr(\boldsymbol T), tr(\boldsymbol T^2), tr(\boldsymbol T^3)) =... ...symbol{\xi^{-1} \cdot \sigma}), tr(\boldsymbol{\xi^{-1} \cdot \sigma}^2)) = 0.$$ (4.29.10)

Une telle expression de la surface de charges en fonction de la contrainte $\boldsymbol \sigma$ correspond à la théorie générale des représentations des surfaces de charges développées par Boehler & al. [BOE97] (dans son chapitre 5). Par ailleurs, l'expression du tenseur des contraintes modifiées donnée par l'équation (4.5.5) est une opération équivalente à la transformation proposée par la théorie simplifiée de Boehler dans l'équation (4.5.1). La différence se situe au niveau de l'ordre du tenseur d'anisotropie. Par contre le but de ces deux traitements formels est commun, il s'agit de pouvoir utiliser les critères de plasticité isotropes afin de les transformer en critères anisotropes. Ceci est illustré par la figure 4.5.3.

Figure 4.5.3: Transformation de l'espace des contraintes afin d'exprimer le critère de plasticité sous une forme isotrope

Les auteurs Oda & al. [OO92] ont ainsi utilisé ce formalisme pour transformer le modèle modifié non-cohésif de CamClay isotrope en un modèle anisotrope. Le modèle de CamClay isotrope considéré est donné par l'équation (4.5.11).

$$M^2 I_1^{(\sigma)}(I_1^{(\sigma)} - \widehat{I}_1) + 27 J_2^{(\sigma)} = 0,$$ (4.29.11)

où $\widehat{I}_1$ est le paramètre d'écrouissage qui dépend uniquement de la déformation volumique plastique ( $\varepsilon_v^{pl})$. Ce paramètre peut être identifié à $p_c$ dans l'équation (4.4.1). Le remplacement de $I_1^{(\sigma)}$ et $J_2^{(\sigma)}$ par les invariants du tenseur des contraintes modifiées, $I_1^{(T)}$ et $J_2^{(T)}$, donne la nouvelle surface de charges qui a pour expression (4.5.12).

$$M^2 I_1^{(T)}(I_1^{(T)} - \widehat{I}_1) + 27 J_2^{(T)} = 0,$$ (4.29.12)

où $I_1^{T} = T_{ii}$ et $J_2^{(T)} = \frac{1}{2} \left( T_{ij} - \frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ij} \right) \left( T_{ji} - \frac{1}{3} T_{kk} \delta_{ji} \right)$ (car $T_{ij}$ n'est pas symétrique). L'équation (4.5.12) peut être réécrite en introduisant les équations (4.5.8) et (4.5.9) afin d'exprimer la surface de charge dans l'espace des contraintes de Cauchy :

$$\left( M^2 - \frac{9}{2} \right) tr^2 \left(\boldsymbol \xi^{-1} ... ...t( \left( \boldsymbol \xi^{-1} \cdot \boldsymbol \sigma \right)^2 \right) = 0.$$ (4.29.13)

Il est à noter que le passage de l'équation (4.5.12) à l'équation (4.5.13) est traduit par

$$f' \left( tr(\boldsymbol T), tr(\boldsymbol T ^2) \right) = 0 \R... ... tr \left( ( \boldsymbol \xi ^{-1} \boldsymbol \sigma )^2 \right) \right) = 0.$$ (4.29.14)

Les composantes de l'expression (4.5.14) appartiennent à la base des composantes de l'expression (4.5.10). Cela implique que la transformation de l'espace des contraintes proposée par Oda & al. [OO92] est incluse dans la théorie générale des représentations des surfaces de charges développée par Boehler & al. [BOE97]. Afin de concrétiser la représentation de cette surface de chargess, il proposé ici une application numérique dans le cas d'une compression triaxiale de révolution. La pente d'état critique $M=1$, le tenseur de structure $\boldsymbol \xi$ est donné par :

$$\boldsymbol \xi = \left( \begin{array}{ccc} 0.8 & 0 & \\ 0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1 \end{array} \right) ,$$

et la forme du tenseur des contraintes est :

$$\boldsymbol \sigma = \left( \begin{array}{ccc} \sigma_{ax} & 0 & \\ 0 & \sigma_{rad} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{rad} \end{array} \right) .$$

Ainsi, l'application numérique de l'équation (4.5.13) s'écrit :

$$15.625 \sigma_{ax}^2 + 1300 \sigma_{rad}^2 - 175 \sigma_{ax} \sigma_{rad} - 1.25 \widehat{I}_1 \sigma_{ax} + 20 \widehat{I}_1 \sigma_{rad}.$$ (4.29.15)

Dans ces conditions, la pression isotrope et la contrainte équivalente de Von Mises ont respectivement pour expressions :

$$p=\frac{\sigma_{ax} + 2 \sigma_{rad}}{3} ,$$

et

$$q = \vert \sigma_{ax} - \sigma_{rad} \vert .$$

Il est donc possible d'exprimer l'équation (4.5.15) en fonction de $p$ et $q$. Dans le cas où $\sigma_{ax} - \sigma_{rad} \geqslant 0$, on a :

$$1140.625 p^2 + 112.5 q^2 - \frac{7787.5}{3}pq + 18.75 \widehat{I}_1 p - \frac{17.5}{3} \widehat{I}_1 q = 0$$

Cette équation décrit une ellipse dans un plan $p-q$ dont le grand axe n'est pas parallèle à l'axe $p$. Le résultat de cette transformation a été confronté aux mesures expérimentales de Yasufuku [YAS90]. La prospection de l'espace des contraintes $p-q$ présentée sur la figure 4.5.4 utilise huit échantillons pré-consolidés jusqu'au point A puis déchargés jusqu'au point B. À partir de ce point, huit chemins de contrainte ont été testés afin de déterminer la surface de charges. Il a été procédé de la même façon pour les mesures de la figure 4.5.5. Dans le cas des graphiques présentés sur ces deux figures, l'axe "q" est défini comme la différence entre la contrainte axiale et la contrainte radiale ( $\sigma_{axial}-\sigma_{radial}$). Ceci explique les valeurs négatives prises par "q".

Figure 4.5.4: Surface de charge pour une consolidation isotrope

Figure 4.5.5: Surface de charge pour une consolidation anisotrope

Il est à noter que la surface de charges décrite par la figure 4.5.5 est semblable aux surfaces de la figure 2.6.7. Cette similitude est fondée sur l'effet de l'histoire de chargement. Pour la figure 2.6.7, l'histoire de mise en forme de l'échantillon fait intervenir une composante déviatoire en plus de la composante isotrope de la contrainte. Cette histoire de chargement particulière est similaire aux sollicitations appliquées à l'échantillon dont le comportement est défini à la figure 4.5.5. La figure 4.5.6 représente la surface de charges pour différentes orientations de l'axe majeur principal des contraintes appliquées par rapport à celles du tenseur $\xi_{ij}$.

Figure 4.5.6: Surface de charge pour une consolidation anisotrope

Il est possible de noter une similitude de la surface d'orientation à 90^&cir#circ; de la figure 4.5.6 par rapport à la surface de charges du modèle de CamClay initial présenté sur la figure 4.4.1 ou encore, par rapport aux surfaces de charge de la figure 2.6.6. On note également la ressemblance entre la surface orientée à 60^&cir#circ; de cette figure 4.5.6 et la surface de CamClay modifiée non-cohésif de la figure 4.4.2. Le modèle initial et le modèle modifié peuvent être ainsi synthétisés par le seul modèle de CamClay anisotrope. De plus, il semble que cette théorie permette une modélisation du comportement plastique des poudres de fer ainsi que le suggère les comparaisons entre les surfaces de charges décrites par cette théorie et les mesures expérimentales de Rottmann & al. [RCR01].