Définition du critère de sensibilité

Les perturbations appliquées aux évolutions de référence de la loi de comportement Drucker-Prager/Cap constituent autant de fichiers d'entrées différents pour les simulations numériques. A titre d'illustration, l'étude de sensibilité pour un paramètre conduit à produire quatre simulations afin de mener l'étude au sens du principe exposé par la figure 7.2.1. Le nombre total de simulations à produire est donc de 24, les résultats numériques associés au cas de référence de la pièce E étant déjà acquis. Les résultats numériques analysés correspondent à la fin de la compression. Ils concernent plus particulièrement les densités moyennes dans les zones 1 à 5 et les efforts maximaux sur les trois poinçons. Compte tenu du grand nombre de valeurs à considérer, un critère associé à la sensibilité est établi afin de rendre plus synthétique les conclusions de cette étude. Le calcul de ce critère nécessite au préalable des définitions particulières pour les entrées (variations imposées) et les sorties (résultats numériques). Les entrées sont au sens de la simulation numérique constituées par des fonctions de la déformation volumique plastique. Ces différentes fonctions sont distinguées de manière simple par des valeurs scalaires, notées $I_\alpha$ pour les variations et $I_\alpha^{std}$ pour la référence. Ces valeurs scalaires caractérisent chaque fonction par sa valeur initiale ou sa valeur finale comme cela est illustré par la figure 7.2.1. L'indice $\alpha$ correspond alternativement au nom d'un des six paramètres de la loi de comportement de la poudre. La différence entre les termes $I_\alpha$ et $I_\alpha^{std}$ est déterminée par l'incertitude expérimentale envisagée pour chacun des paramètres. Chaque valeur de sortie est égalée à l'une des quantités simulées, c'est à dire une des densités moyennes dans les zones 1 à 5 ou l'un des trois efforts maximaux sur les poinçons. Les sorties sont notées $O_\xi$ pour des résultats numériques associés à une perturbation et $O_\xi^{std}$ pour les résultats de référence. L'indice $\xi$ prend alternativement le nom d'une des huit quantités considérées comme sorties. La différence entre les termes $O_\xi$ et $O_\xi^{std}$ traduit l'influence des variations d'entrées sur les résultats numérique de la simulation. À partir de ces définitions des entrées et des sorties, il est possible de calculer la variation relative imposée aux entrées et la variation relative consécutive à la simulation sur les sorties.

$$I_\alpha^r = \frac{I_\alpha - I_\alpha^{std}}{I_\alpha^{std}} \quad \textrm{et} \quad O_\xi^r = \frac{O_\xi - O_\xi^{std}}{O_\xi^{std}}.$$

Les variations relatives des sorties $O_\xi^r$ sont a priori reliées aux variations relatives des paramètres d'entrée de la loi $I_\alpha^r$. Cette dépendance est quantitativement exprimée au travers du critère de sensibilité. Dans le cadre de cette étude paramétrique, le critère de sensibilité est un scalaire déterminé par l'expression :

$$O_\xi^r = S_{\xi \alpha} I_\alpha^r \quad \textrm{avec} \quad (\xi , \alpha) \in (\{ \textrm{densités, forces} \},\{d,\beta,R,p_b,E,\nu \})$$ (7.46.1)

Pour chaque variation relative imposée $I_\alpha^r$, les résultats de simulation permettent suite à l'extraction des valeurs le calcul du terme $O_\xi^r$. La relation (7.4.1) est ensuite utilisée pour l'ensemble des combinaisons ($\xi$,$\alpha$) requises par cette étude. Le paramètre de sensibilité $S_{\xi \alpha}$ prend la forme d'un scalaire reliant les valeurs $O_\xi^r$ et $I_\alpha^r$ de façon proportionnelle. Cette apparente linéarité entre les termes $I_\alpha^r$ et $O_\xi^r$ ne peut pas être avérée sans une étude particulière. Il demeure en effet possible que le critère de sensibilité $S_{\xi \alpha}$ soit une fonction non constante dépendante du terme $I_\alpha^r$. Le nombre des simulations numériques par éléments finis n'est pas suffisant pour analyser correctement cette dépendance éventuelle de $S_{\xi \alpha}$ en fonction de $I_\alpha^r$. Une étude d'un cas simplifié est proposée afin d'éclaircir ce point. Cette étude serait également intéressante dans un autre contexte car elle fournit des indicateurs utiles pour le traitement des données expérimentales issues d'une compression en matrice.