Étude de sensibilité pour un cas simplifié

Le cas simplifié proposé consiste en l'étude de la compression en matrice d'un cylindre en supposant qu'il n'y a pas de frottement entre la poudre et l'outillage. Ce cas simplifié a pour avantage majeur de pouvoir être résolu littéralement. En effet, les hypothèses de compression sans frottement et de forme cylindrique pour la pièce permettent de considérer des états de déformation et de contrainte homogènes. Une dernière hypothèse simplificatrice consiste à supposer un comportement purement plastique, seules les évolutions des paramètres de la surface de charges sont considérées dans les calculs. Cette première étude de sensibilité concerne alors les quatre paramètres (d, $\beta$, R, $p_b$) du modèle de Drucker-Prager/Cap. Les conditions aux limites cinématiques induisent des déformations radiales nulles. Il vient alors que $\varepsilon_q = \frac{2}{3} \varepsilon_p$, avec $\varepsilon_p$ la déformation volumique et $\varepsilon_q$ la déformation équivalente déviatoire. La direction de l'écoulement plastique associée aux déformations est normale à la surface de charges. L'état de contrainte au cours de la compression est alors déduit par le lieu des points dont la normale à la surface de charges est de pente $\frac{2}{3}$. Dans le cas du modèle de Drucker-Prager/Cap (voir paragraphe 4.4.2 en page ), l'état de contraintes correspondant à ce lieu de point est calculé à partir des équations (7.5.1) et (7.5.2).

$$p_{2/3}=p_a+\frac{R^2(d+p_a \tan \beta)}{\sqrt{R^2+ \left( \frac{2}{3} \right)^2\left(1+ \alpha-\frac{\alpha}{\cos \beta}\right)^2}}$$ (7.47.1)

$$q_{2/3}=\frac{\frac{2}{3}(d+p_a \tan \beta)(1+ \alpha-\frac{\alp... ...ft( \frac{2}{3} \right) ^2\left(1+ \alpha-\frac{\alpha}{\cos \beta}\right)^2}}$$ (7.47.2)

Les paramètres (d, $\beta$, R, $p_a$) sont des fonctions de la déformation volumique plastique homogène dans toute la pièce. L'état de contrainte peut ainsi être paramétré par l'évolution de la déformation volumique plastique. Une étude de sensibilité sur les répartitions de densité n'a ici aucun sens puisque la déformation est homogène. Ce cas simplifié est traité de la même façon que les modèles de simulation car la cinématique du poinçon de compression est considérée comme une donnée d'entrée. La déformation homogène et la densité courante sont ainsi entièrement déterminées par la cinématique. La sensibilité de la valeur de l'effort de compression par rapport aux variations appliquées aux paramètres de la loi plastique peut être étudiée analytiquement. Les efforts axiaux et radiaux au sein de la matrice sont reliés aux contraintes par l'intermédiaire des surfaces sur lesquelles elles sont appliquées. Pour accéder à l'expression de la force de compression, il convient de relier les contraintes (axiale et radiale) aux quantités $p$ et $q$.

$$\sigma_{ax} = \frac{3p + 2q}{3}$$ (7.47.3)

$$\sigma_{rad} = \frac{3p - q}{3}$$ (7.47.4)

L'effort de compression est proportionnel à la contrainte axiale. La densité et la contrainte axiale sont homogènes pour ce cas simplifié, l'effort de compression s'obtient directement par multiplication de la surface de contact avec le poinçon et de la contrainte axiale. A cet égard, l'étude de sensibilité est directement menée sur le terme de contrainte axiale. Afin de simplifier les expressions, le coefficient $\alpha$ est supposé nul. Le coefficient $\alpha$ conditionne la géométrie de la surface de transition, cette simplification n'a pas de conséquence sur les résultats de sensibilité pour le cas de compression étudié. La contrainte axiale a ainsi pour expression :

$$\sigma_{ax} = p_a + (d+p_a \tan \beta)\sqrt{R^2 + \left( \frac{2}{3}\right)^2}.$$ (7.47.5)

Dans le cadre de cette étude analytique, il est possible de décrire la sensibilité par rapport aux paramètres plastiques de façon continue en fonction de la déformation volumique plastique. La relation (7.4.1) s'exprime comme (7.5.6) pour le cas simplifié.

$$S_{\alpha} = \frac{O^r}{I_\alpha^r}$$ (7.47.6)

Le terme $O^r$ correspond à la variation relative de la contrainte axiale $\sigma_{ax}$. L'indice $\alpha$ prend alternativement le nom d'une des quatre quantités (d, $\beta$, R, $p_a$). Si le terme ($I_\alpha$ - $I_\alpha^{std}$) tend vers zéro, l'expression de la sensibilité prend la forme particulière suivante :

$$S_\alpha = \frac{I_\alpha}{O} \frac{d O}{d I_\alpha}$$ (7.47.7)

L'équation (7.5.7) traduit ainsi la sensibilité comme une fonction proportionnelle à la dérivée de la sortie par rapport à l'entrée. Cette équation conduit à calculer les dérivées partielles de la contrainte axiale $\sigma_{ax}$ par rapport à chacune des entrées $d$, $\beta$, $R$ et $p_b$.

$$\frac{\partial \sigma_{ax}}{\partial p_b} = \frac{1}{1+R \tan \beta} \left( 1 + \tan \beta \sqrt{\frac{4}{9} + R^2} \right)$$ (7.47.8)

$$\frac{\partial \sigma_{ax}}{\partial R} = \frac{d + p_a \tan \be... ...} + R^2}} \left( R - \sqrt{\frac{4}{9} + R^2} - \frac{4}{9} \tan \beta \right)$$ (7.47.9)

$$\frac{\partial \sigma_{ax}}{\partial d} = \frac{1}{1 + R \tan \beta} \left( \sqrt{\frac{4}{9} + R^2} - R \right)$$ (7.47.10)

$$\frac{\partial \sigma_{ax}}{\partial \beta}= \frac{p_a}{\cos^2 \beta(1 + R \tan \beta)} \left( \sqrt{\frac{4}{9} + R^2} - R \right)$$ (7.47.11)

L'équation (7.5.7) permet d'observer l'évolution de la sensibilité de la contrainte $\sigma_{ax}$ tout au long de la compression puisque les dérivées exprimées par les expressions (7.5.8), (7.5.9), (7.5.10) et (7.5.11) sont littérales. En outre, on remarque que l'expression de la sensibilité dans l'équation (7.5.7) correspond au poids de la contribution de l'erreur relative d'un paramètre $I_\alpha$ exprimé par Zavaliangos [ZAV97]. D'après cette définition, la sensibilité peut être interprétée ici comme l'importance de l'influence d'un paramètre sur le résultat de la simulation numérique. Cela correspond exactement en ce sens à la définition donnée par l'équation (7.4.1). La sensibilité de la contrainte axiale par rapport à chaque paramètre peut être calculée en introduisant dans l'expression de $S_\alpha$ la dérivée partielle correspondante. Les évolutions numériques particulières des paramètres $d$, $\beta$, $R$, $p_b$ sont utilisées, les quatre fonctions de sensibilités associées sont présentées sur la figure 7.5.1.

Figure 7.5.1: Évolutions de la sensibilité de la contrainte de compression par rapport aux paramètres plastiques au cours de la compression

Ceci indique que les paramètres $p_b$, $R$ et $\beta$ ont une influence sur la contrainte axiale bien supérieure à celle du paramètre $d$. Afin de connaître les sensibilités en début de compression, il suffit de relever les valeurs de $S_\alpha$ pour une déformation volumique plastique nulle. Le paramètre $\beta$ a une influence fortement décroissante sur la sensibilité entre le début et la fin de la compression. La valeur de la contrainte axiale $\sigma_{ax}$ est dépendante au cours de la compression du chemin de contrainte suivi dans le plan P-Q. La figure 7.5.1 indique que le chemin de contrainte le moins perturbé devrait être celui associé aux variations numériques imposées à d. La perturbation maximum du chemin devrait être obtenue par les variations imposées au paramètre $p_b$. Les sensibilités aux paramètres $R$ et $\beta$ sont significativement variables en fonction de la déformation volumique plastique. La figure 7.5.2 illustre l'influence des variations numériques proposées pour les fortes déformations plastiques sur le chemin de contrainte caractéristique de la compression en matrice.

Figure 7.5.2: Chemins de contraintes dans des plans p-q pour une variation imposée en fin de compression à chaque paramètre plastique

Il est alors possible de conclure que les valeurs du critère de sensibilité traduit fidèlement l'influence croissante des paramètres $d$, $\beta$, $R$ et $p_b$ sur les chemins de contrainte. Cette figure permet l'illustration de l'équation de la surface de charges (4.4.7) (page ) pour laquelle les coefficients $d$ et $\beta$ n'interviennent que dans la position du centre du cap. La forme et la position de cette surface sont essentiellement décrites par les paramètres $R$ et $p_b$. Pour cette raison, les variations de ces deux derniers paramètres modifient fortement les états de contraintes en fin de compression. La conséquence est une grande modification de la contrainte de compression nécessaire à la densification de la poudre. La figure 7.5.1 présente des résultats de l'évolution de la sensibilité pour une définition particulière qui intègre les dérivées partielles de $\sigma_{ax}$ par rapport aux paramètres $d$, $\beta$, $R$ et $p_b$. Pour une mise en uvre directe de la définition proposée à la section 7.4 (relation 7.5.6), les variations des paramètres telles qu'elles ont été présentées en début de chapitre sont utilisées pour tracer les évolutions de la figure 7.5.3.

Figure 7.5.3: Sensibilité de la contrainte au cours de la compression par rapport aux variations des paramètres plastiques présentées en début de chapitre

Il apparaît que ces évolutions sont très semblables à celles présentées par la figure 7.5.1. Certaines sont légèrement inférieures en valeur absolue ce qui signifie que le terme $O_\xi^r$ de la relation (7.4.1) est en toute rigueur variable avec les amplitudes imposées au terme $I_\alpha^r$. Dans le cadre particulier à ce chapitre, les variations $I_\alpha^r$ sont bornées par les incertitudes expérimentales estimées. La sensibilité à chaque paramètre peut être décrite par un doublet de valeurs qui correspond à des déformations volumiques plastiques respectivement nulles et maximums. La figure 7.5.4 fournit les sensibilités de chaque paramètre pour les deux valeurs extrêmes de la déformation.

Figure 7.5.4: Sensibilité de la contrainte axiale en début et en fin de compression par rapport aux variations numériques imposées aux paramètres plastiques

Les sensibilités sont globalement maximums en début de compression. Ceci concerne particulièrement l'angle de frottement interne $\beta$ et l'excentricité $R$. L'état de contrainte est plus déviatoire que sphérique (voir figure 7.5.2) en début de compression. Le point caractéristique de l'état de contrainte (lieu de la normale de pente 2/3) est proche de la transition entre la surface du Cap et la droite de rupture. La "géométrie" de cette zone de la surface de charges de Drucker-Prager/Cap est ainsi fortement influencée par l'angle de la droite de rupture $\beta$ et par l'excentricité $R$. Cette influence de $\beta$ en début de compression ne représente pas une généralité, elle est due à la forme numérique adoptée pour décrire la loi de comportement aux très faibles densités. Ce commentaire souligne que le paramètre $\beta$ caractéristique du mécanisme de Drucker-Prager a une influence sur le mécanisme activé de densification lié au Cap. Ce point qui pourrait paraître singulier est cependant logique. Lorsqu'une variation arbitraire est appliquée à un paramètre, certains autres paramètres de la loi de comportement peuvent être légèrement modifiés. Ce point est induit par la nécessité d'obtenir, pour chaque variation de paramètre, une surface de charges de Drucker-Prager/Cap fermée d'allure cohérente vis-à-vis de l'ensemble des données et des formes numériques adoptées. Cette étude simplifiée fournit une première estimation de la sensibilité des résultats en effort aux variations des paramètres d'entrée de la loi de comportement. La simulation numérique de la mise en forme de la pièce E permet une analyse plus complète car l'étude numérique des effets sur les répartitions de densité est alors possible. Cette deuxième étude permet aussi de rechercher des conclusions effectives sur l'outil de simulation pour un cas industriel.