Abaqus/Explicit

La version explicite est entièrement vectorisée afin d'utiliser les supercalculateurs multiprocesseurs. Bien que l'analyse soit dynamique, elle peut être utilisée moyennant quelques précautions (voir 5.6) pour accomplir des analyses quasi-statiques. Le schéma explicite implanté au sein du Abaqus conduit à des temps de calcul plus faibles comparativement au schéma implicite nommé Abaqus/Standard. L'algorithme explicite assure une certaine robustesse, il est plus efficace pour aboutir à un calcul complet que Abaqus/Standard. Ce code présente une bonne résolution des contacts ce qui est un autre intérêt vis-à-vis de la simulation du procédé. ABAQUS/Explicit met en uvre un schéma d'intégration par différences centrales exprimé par les équations (5.2.5) et (5.2.6).

$$\boldsymbol{\dot{u}}^{(i+\frac{1}{2})} = \boldsymbol{\dot{u}}^{(... ...2})} + \frac{\Delta t^{(i+1)} + \Delta t^{(i)}}{2}\boldsymbol{\ddot{u}}^{(i)},$$ (5.32.5)

$$\boldsymbol{u}^{(i + 1)} = \boldsymbol{u}^{(i)} + \Delta t^{(i + 1)} \boldsymbol{\dot{u}}^{(i+\frac{1}{2})},$$ (5.32.6)

où $\boldsymbol{\dot{u}}$ est la vitesse et $\boldsymbol{\ddot{u}}$ est l'accélération. L'exposant $(i)$ indique le numéro de l'incrément. Ces équations sont illustrées sur la figure 5.2.4.

Figure 5.2.4: Illustration de l'opérateur de différence centrale

Ce seul schéma d'intégration est combiné à une procédure dynamique. La clef de l'efficacité calculatoire de la procédure explicite provient de l'utilisation d'une matrice de masse diagonale. Une telle forme permet un calcul rapide de l'inverse de cette matrice notamment utilisée pour la détermination de l'accélération de l'équation (5.2.7).

$$\boldsymbol{\ddot{u}} = \boldsymbol M ^{-1} \cdot (\boldsymbol F ^{(i)} - \boldsymbol I ^{(i)}),$$ (5.32.7)

où $\boldsymbol M$ est la matrice de masse diagonale, $\boldsymbol F$ est le vecteur des charges appliquées et $\boldsymbol I$ est le vecteur des forces internes. Ainsi, la procédure explicite ne requiert ni itération ni matrice tangente de rigidité. La procédure explicite intègre par rapport au temps en utilisant beaucoup de petits incréments de temps. Or, l'opérateur de différences centrales est conditionnellement stable. La limite de cette stabilité pour cet opérateur est donnée en terme de plus grande valeur propre du système par

$$\Delta t \leqslant \frac{2}{\omega_{max}}.$$

Une estimation de la plus petite valeur propre du système peut être obtenue en déterminant le mode maximum des éléments du maillage. Ainsi, l'incrément de temps permettant la stabilité est donnée par

$$\Delta t = min \left( \frac{L_e}{c_d} \right),$$

où $L_e$ est la dimension caractéristique des éléments et $c_d$ est la vitesse des ondes en dilatation dans le matériau. Cette vitesse est donnée par

$$c_d = \sqrt{\frac{\widehat{\lambda} + 2 \widehat{\mu}}{\rho}},$$

avec

$$\Delta p = -\widehat{K} \Delta \varepsilon _{vol}$$

$$\Delta \boldsymbol{S} = 2 \widehat{\mu} \Delta \boldsymbol{e}$$

$$\widehat{\lambda} = \widehat{K} -\frac{2}{3} \widehat{\mu}.$$

Le tenseur $\boldsymbol S$ est le tenseur des contraintes déviatoires et $\boldsymbol e$ est le tenseur des déformations déviatoires. $\rho$ est la masse volumique du matériau. Ainsi, la procédure explicite dynamique peut effectuer un grand nombre de petits incréments pour un temps de calcul raisonnable.