Les paramètres de Drucker-Prager/Cap

La loi de Drucker-Prager/Cap est l'un des deux modèles de comportement plastique utilisé pour réaliser les simulations des pièces de validations. Ce modèle se caractérise par quatre paramètres : la cohésion (d), l'angle de frottement interne ($\beta$), l'excentricité de la surface du cap (R) et la pression de consolidation ($p_b$), comme cela a été décrit au chapitre 4 dans la partie 4.4.2. Les paramètres du mécanisme de Drucker-Prager (d et $\beta$) sont déterminés par des dispositifs faisant apparaître la rupture du matériau. Parmi les dispositifs disponibles, les données peuvent être issues de la compression uni-axiale, de la compression diamétrale et de la traction simple. La figure 6.2.2 illustre la détermination des valeurs caractéristiques de ce mécanisme par des essais de compression uniaxiale et de traction uniaxiale.

Figure 6.2.2: Calage de la surface de Drucker/Prager par l'essai de traction uniaxiale (à gauche) et l'essais de de compression uniaxiale (à droite) dans le plan P-Q

Le résultat des mesures de contraintes à la rupture est présenté sur la figure 6.2.3 à divers niveaux de masse volumique.

Figure 6.2.3: Résultats de mesure pour caler les paramètres de la droite de rupture avec contrainte de rupture en traction uniaxiale (à droite) et évolution de la cohésion d déduite des données expérimentales (à gauche). ( $\rho _d = 7.33g/cm^3$)

Pour le mécanisme associé à la surface du Cap, il est possible de déterminer les paramètres (R et $p_b$) par l'intermédiaire des mesures issues d'un dispositif de compression triaxiale de révolution. Le résultat du calage des paramètres R et $p_b$ est défini par les deux évolutions portées à la figure 6.2.4.

Figure 6.2.4: Calage de la surface de charge (iso-densité) dans un plan p-q à partir d'essais de compression triaxiale normalement consolidés

Les évolutions quantitatives de R et $\beta$ sont déterminées par la méthode des moindres carrés appliquée sur l'ensemble des points expérimentaux disponibles. La pression de consolidation $p_b$ évolue avec la densité, elle-même liée à la déformation volumique plastique et à la valeur de la densité initiale. Comme $p_b$, les trois paramètres (R, d, $\beta$) évoluent en fonction de la déformation volumique plastique (voir figure 6.2.5).

Figure 6.2.5: Évolution des paramètres de la surface de charge en fonction de la déformation volumique plastique $\varepsilon^{pl}_{vol}$ pour une masse volumique initiale de $\rho_0 = 3.2 g/cm^3$. (a)cohésion d (b) angle de frottement interne $\beta$ (c) excentricité R (d) pression isotrope (écrouissage) $p_b$

Les équations de ces évolutions sont les suivantes :

$$d = d_i \exp \left( \frac{\rho_i}{a} \exp(\varepsilon_{vol}^{pl})... ... \qquad \textrm{ avec $d_i = 0.000697 MPa$ et $\frac{\rho_i}{a} = 5.239$ }$$

$$\tan \beta = \tan \beta_0 + \tan \beta_1 \exp( \varepsilon_{vol}... ...}) \qquad \textrm{ avec $\tan \beta_0 = 3.647$ et $\tan \beta_1 = -0.4695$}$$

$$R = R_0 + R_1 \exp \left( \frac{\rho_i}{b} \exp( \varepsilon_{vo... ...\textrm{ avec $R_0=0.20633$ , $R_1 = 0.0138$ et $\frac{\rho_i}{b}=2.286$ }$$

$$p_b = p_0 \left(\displaystyle \frac{\ln \left( 1-\displaystyle \... ...n_{vol}^{pl})-\rho_0}{\rho_d-\rho_0} \right)}{-\alpha} \right)^{\frac{1}{n}}$$

avec $p_0 = 1 MPa$ $\rho_0=3.04 g/cm^3$, $\rho_i = 3.47 g/cm^3$, $\rho _d = 7.33g/cm^3$, $\alpha = 0.5152$ et $n = 0.6506$. Le calage numérique de la surface du Cap à partir des mesures issues du dispositif de compression triaxiale de révolution est utilisé uniquement pour la simulation des pièces mises en forme au sein de l'entreprise Federal Mogul dont la poudre présente un taux de cire de 1%. Les paramètres du mécanisme associés à la surface du Cap peuvent être également déterminés par les mesures issues d'un dispositif de compression en matrice. Moyennant quelques hypothèses nécessaires au dépouillement des résultats expérimentaux, il est possible de déterminer l'évolution des paramètres R et $p_b$ au cours de la compression. Ces hypothèses permettent d'extraire des résultats bruts le comportement de la poudre sans introduire les effets dus au frottement avec l'outillage. L'essai de compression en matrices se caractérise par des déformations radiales nulles ce qui détermine dans le plan P-Q une direction particulière de pente 2/3 pour le vecteur écoulement. Par ailleurs, la surface du Cap correspond à un modèle associé qui respecte la règle de normalité. Le chemin de chargement lié à l'essai de compression en matrice définit ainsi dans le plan P-Q le lieu des normales de pente 2/3 au cours de l'écrouissage par densification de la poudre (voir figure 6.2.6).

Figure 6.2.6: Calage de la surface du Cap en fonction de la densité au point d'intersection avec le chemin de chargement (normale à la surface de pente 2/3)

À l'occasion de la campagne d'essais menée par la société Dorst, trois centres de recherches ont fourni des mesures représentatives de la compression en matrice. Une analyse détaillée de ces résultats expérimentaux a été proposée au chapitre 2. Les trois chemins de contrainte dans le plan P-Q au cours de la densification sont exposés par la figure 6.2.7.

Figure 6.2.7: Chemin de contrainte dans un plan P-Q pour les trois centres de recherches

Chaque chemin de contrainte donne lieu à la détermination de deux évolutions quantitatives particulières de l'excentricité (R) et de la pression de consolidation ($p_b$). Pour les figures 6.2.8 et 6.2.9, les évolutions de ces deux paramètres sont exprimées en fonction de la masse volumique.

Figure 6.2.8: Évolution de l'excentricité du cap $R$ en fonction de la masse volumique

Figure 6.2.9: Évolution de la pression de consolidation $p_b$ en fonction de la masse volumique

Les courbes expérimentales ont été modélisées par des fonctions mathématiques dont les extrapolations tiennent compte de certaines hypothèses en rapport avec le comportement mécanique. À ce titre, il est supposé nécessaire d'imposer un état de contrainte "infini" en compression pour former un matériau sans aucune porosité. Le comportement du matériau a pour limite la surface de de charge de Von Mises lorsque la densité relative tend vers 1. Ainsi, l'excentricité R a une asymptote verticale. Une asymptote verticale est également associée à l'évolution de la pression de consolidation $p_b$ pour les fortes densités. La valeur de la pression de consolidation est de l'ordre de 1 MPa lorsque la poudre est sans cohésion. Par ailleurs, l'augmentation du paramètre $p_b$ est très faible aux premiers stades de la compression du matériau à l'état pulvérulent. L'évolution de $p_b$ est alors associée à une asymptote horizontale pour les très faibles densités dont la valeur minimum correspond à la densité apparente. Les calages numériques de la surface du Cap à partir des données issues de la compression en matrice sont utilisés uniquement pour simuler la mise en forme de la pièce en H. Les évolutions de ces paramètres sont, pour cette poudre à 0.6% de cire :

$$d = d_0 \exp \left( a \frac{\rho}{\rho_d} \right),$$

où $d_0 = 0.0001$, $\rho_d = 7.475 g/cm^3$ et $a = 12.572$.

$$\tan \beta = \tan \beta_0 + \frac{\tan \beta_1}{\rho_d}\rho,$$

où $\tan \beta_0 = 3.5069$, $\tan \beta_1 = 1.0379$ et $\rho_d = 7.475 g/cm^3$.

$$R = R_0 + R_1 \exp (b \rho)$$ (6.39.1)

$$p_b = p_0 \left(\displaystyle \frac{\ln \left( 1-\displaystyle \... ...n_{vol}^{pl})-\rho_0}{\rho_d-\rho_0} \right)}{-\alpha} \right)^{\frac{1}{n}}$$ (6.39.2)

Pour les évolutions données par les équations (6.2.1) et(6.2.2) les coefficients sont donnés dans le tableau suivant.

	3S	Leicester	AEA
$R_0$	0.6174	0.5768	0.4640
$R_1$	0.0003030	0.001311	0.002563
$b$	1.0006517	0.841932	0.851788
$p_0$ (MPa)	1	1	1
$\rho_0$ ($g/cm^3$)	3.47	3.47	3.47
$\rho_d$ ($g/cm^3$)	7.475	7.475	7.475
$\alpha$	0.03539	0.6935	0.03259
$n$	0.7009	0.6051	0.6930