Matériaux isotropes

Un matériau est dit isotrope si en appliquant une quelconque transformation $\boldsymbol Q$ d'un groupe orthogonal $\mathcal O$ au matériau mais pas au tenseur $\boldsymbol \varepsilon$, la réponse $\boldsymbol \sigma$ est la même. Ceci est exprimé par l'équation (3.2.3).

$$\forall \boldsymbol Q \in \mathcal{O} : \boldsymbol \Psi ( \... ...boldsymbol Q ^T)= \boldsymbol \Psi (\boldsymbol \varepsilon , \boldsymbol \xi)$$ (3.18.3)

Cette équation indique que le tenseur de structure est un tenseur isotrope :

$$\boldsymbol \xi = \vartheta \boldsymbol I.$$

Ainsi, pour un matériau isotrope, l'équation constitutive (3.2.1) est réduite à :

$$\boldsymbol \sigma = \boldsymbol \Psi( \boldsymbol \varepsilon, \vartheta \boldsymbol I) = \boldsymbol \Psi( \boldsymbol \varepsilon )$$

Une conséquence directe de cette définition est que les directions principales du tenseur $\boldsymbol \varepsilon$ sont les mêmes que celles du tenseur $\boldsymbol \sigma$. Afin de mettre en évidence cette coïncidence des directions principales, considérons une réflexion $\boldsymbol S$ (cas particulier de $\boldsymbol Q$) par rapport à l'une des directions principales de $\boldsymbol \varepsilon$ que l'on notera $e_1$. Cette transformation est appliquée à la fois au tenseur $\boldsymbol \varepsilon$ et au tenseur de structure $\boldsymbol \xi$. La réponse d'une telle transformation reste inchangée puisque le matériau est isotrope. De plus, en appliquant le principe d'isotropie de l'espace, il vient :

$$\boldsymbol{S \cdot \sigma \cdot S}^T = \boldsymbol \sigma$$ (3.18.4)

L'équation (3.2.4) implique que la direction $e_1$ est principale pour le tenseur $\boldsymbol \sigma$. Donc, finalement, les directions principales de $\boldsymbol \varepsilon$ et de $\boldsymbol \sigma$ sont les mêmes. La conséquence pour l'expression des lois de comportement est l'absence de tenseur de structure.