Critiques du modèle non-linéaire orthotrope de révolution

Quel est l'intérêt de modéliser l'anisotropie puisque celle-ci disparaît lorsque le matériau tend vers le matériau dense ? Pour répondre à une telle question, il est nécessaire de bien situer le contexte des expériences réalisées à cet effet. Les échantillons qui ont été testés ne sont pas éjectés. Ainsi, les essais représentent l'état du matériau au cours de la compression et non après éjection. Cette différence semble importante, car pendant la phase d'éjection, il est soupçonné que des phénomènes irréversibles ont lieu. Donc, le modèle permet de prendre en charge l'évolution de l'anisotropie au cours de la compression, mais aussi après l'éjection. Cette capacité d'adaptation est possible grâce à la flexibilité du modèle. Ce modèle ne prend en compte que l'anisotropie orthotrope de révolution. Cette symétrie est valable pour la compression d'un cylindre avec un poinçon unique. Qu'en est-il pour les compressions multi-poinçons ? Dans ce cas, l'anisotropie ne peut a priori pas se résumer à une symétrie cylindrique. Cependant, l'écriture du modèle peut être enrichie afin de tenir compte de cette anisotropie plus compliquée. En effet, dans le cas de l'orthotropie de révolution, la direction privilégiée est repérée par un vecteur $\overrightarrow{a}$ donne naissance au tenseur $\boldsymbol{M}$. Supposons dans un premier temps que le comportement soit orthotrope. Il y a alors trois directions privilégiées qui peuvent être repérées par trois vecteurs $\overrightarrow{a}_1$, $\overrightarrow{a}_2$ et $\overrightarrow{a}_3$. Ces vecteurs donnent lieu aux trois tenseurs $\boldsymbol{M}_1 = \overrightarrow{a}_1 \otimes\overrightarrow{a}_1$, $\boldsymbol{M}_2 = \overrightarrow{a}_2$ $\otimes \overrightarrow{a}_2$ et $\boldsymbol{M}_3 =\overrightarrow{a}_3 \otimes \overrightarrow{a}_3$. Avec ces tenseurs et les invariants qui en découlent, il est tout à fait concevable de construire un modèle orthotrope avec la même méthodologie que celle ayant servi à construire le modèle orthotrope de révolution. Il est ainsi possible d'obtenir une anisotropie encore plus générale en gardant pour base les trois vecteurs, mais en construisant des tenseurs combinant ces vecteurs comme donnés par l'équation (3.7.14).

$$\boldsymbol{M}_{ij} = \overrightarrow{a}_i \otimes \overrightarrow{a}_j$$ (3.23.14)

La théorie peut ainsi être développée à l'anisotropie la plus générale possible. Il reste que les investigations expérimentales seront limitées du point de vue macroscopique, pour le calage des coefficients d'un tel modèle de comportement dont le nombre devient vite important. Il sera alors nécessaire d'utiliser les approches micro-macromécaniques. La véritable question est de savoir pourquoi l'anisotropie élastique apparaît puis disparaît ? Pour répondre à cette interrogation, il faut savoir ce qui donne naissance tant à l'anisotropie qu'à la non-linéarité. Quelle est l'essence de ce phénomène réversible ? La réversibilité du phénomène est due à l'élasticité des grains. Quant à ce qui est des particularités de non-linéarité et d'anisotropie, il faut chercher l'explication au niveau des surfaces de contact inter-granulaires. D'une part, en reprenant la théorie des contacts de Hertz, il est possible de comprendre la non-linéarité. En effet, la surface de contact augmentant, la raideur de l'ensemble augmente également. D'autre part, si l'on considère la non-linéarité due à l'évolution de la surface de contact entre grains, cela peut également expliquer l'anisotropie. Pour cela, schématisons les grains de poudre par des sphères. La figure 3.7.5 montre ces grains de poudre à différents stades de la compression.

Figure 3.7.5: Évolution de la forme des grains au cours de la compression en matrice ainsi que de la surface de contact entre grains. (A) au remplissage, (B) en cours de compression, (C) densification complète

Le schéma indique une évolution différente des surfaces de contacts selon la direction de déformation majeure et selon la direction qui lui est perpendiculaire. Ce qu'il y a d'intéressant dans cette schématisation, c'est qu'elle montre que pour les densités relatives proches de 1, les grains sont aplatis, mais les densités de surfaces de contact^3.5 sont identiques dans les deux directions. Ainsi, afin de rendre compte de l'évolution de l'anisotropie au travers des coefficients du modèle, ceux-ci doivent être fonction des rapports de surfaces par rapport à chacune des trois directions de l'espace. Ces investigations sur l'anisotropie de l'élasticité constituent un élément important dans la caractérisation du comportement des poudres. Cette importance provient du lien entre l'anisotropie élastique et l'anisotropie plastique évoquée par Böhlke [BÖH01]. Il est alors possible de déterminer l'anisotropie plastique au travers d'expériences mesurant l'anisotropie élastique (ultrasons par exemple).