Synthèses et discussions

Les valeurs $O_\xi^r$ associées aux variations $I_\alpha^r$ sont présentées aux paragraphes précédents par des graphiques qui traitent de chaque zone pour les densités et de chaque poinçon pour les efforts. Les valeurs de sensibilité correspondent ainsi aux pentes de chaque segment de droite. L'ensemble de ces informations numériques est traité pour obtenir une présentation synthétique des sensibilités pour chaque cas de variation. Ce traitement conduit à exposer les résultats issus des 24 simulations numériques par les quatre figures 7.7.1, 7.7.2, 7.7.3 et 7.7.4. Les valeurs portées sur ces quatre figures correspondent à des "sensibilités globales" qui cumulent les effets issus des modélisations par éléments finis. Ces valeurs sont toutes ramenées à des valeurs positives. Les distributions de densité sont plus sensibles aux variations finales du module d'Young E.

Figure 7.7.1: Sensibilité des répartitions de densité simulées par rapport aux paramètres élastiques

Cette influence majorée des variations finales de E concerne également les efforts comme le montre la figure 7.7.2.

Figure 7.7.2: Sensibilité des efforts simulés en fin de compression par rapport aux paramètres élastiques

Les variations du coefficient de Poisson ont un impact similaire au module d'Young soumis à des variations initiales. Les figures 7.7.3 et 7.7.4 illustrent respectivement les sensibilités des répartitions de densité et des efforts par rapport aux variations des paramètres plastiques. La figure 7.7.4 met en évidence une plus forte sensibilité globale des quatre paramètres aux variations finales par rapport aux variations initiales dans le cas des forces simulées en fin de compression. Pour les répartitions de densité, la figure 7.7.3 indique des sensibilités notables d'ordres de grandeurs similaires en début et en fin de compression.

Figure 7.7.3: Sensibilité des répartitions de densité simulées en fin de compression par rapport aux paramètres plastiques

Figure 7.7.4: Sensibilité des efforts simulés en fin de compression par rapport aux paramètres plastiques

Cette étude met en évidence l'influence des paramètres de la loi de comportement élasto-plastique sur les répartitions de densité et sur les efforts simulés. Les résultats de cette étude désignent les paramètres de la loi qui doivent faire l'objet d'une attention particulière lors de leurs déterminations expérimentales. Parmi ces paramètres, l'angle de frottement interne $\beta$ se distingue par une forte influence de sa valeur aux faibles densités, la valeur de pression de consolidation $p_b$ pour son impact aux fortes densités sur les efforts. La forte sensibilité des répartitions de densité aux variations finales de l'excentricité est également à signaler. Les variations imposées à l'angle de frottement interne $\beta$ ont une influence importante sur les efforts maximaux simulés en fin de compression, en particulier lorsque des fluctuations initiales sont appliquées à ce paramètre. La densification typique du procédé est essentiellement modélisée, compte tenu des déformations imposées, par le mécanisme lié à la surface de charges du Cap plutôt que par le mécanisme inhérent à la droite de Drucker-Prager. Ainsi, le maintien de fortes valeurs des sensibilités liées aux variations initiales et finales de $\beta$ sont a priori étonnantes. Pour analyser ce résultat, il convient de reconsidérer les valeurs de sensibilité déterminées pour le cas simplifié et de développer quelques commentaires détaillés. Les tendances exprimées par la figure 7.7.4 correspondent globalement au cas simplifié, la comparaison avec les sensibilités en fin de compression de la figure 7.5.4 étant justifiée. L'influence croissante des paramètres $d$, $R$ et $P_b$ est par exemple retrouvée. Il demeure que des différences marquées existent concernant les valeurs de la sensibilité si l'on considère un à un les effets de chacun des paramètres. Il convient de rappeler que le cas simplifié ne tient pas compte de la contribution élastique du comportement et du frottement entre poudre en outillage. De plus, la géométrie et la cinématique des outils de la pièce E active le phénomène de transfert de poudre au cours de la compression. Une dernière différence importante entre le cas simplifié et les simulations de la pièce E est que le cas simplifié traite de sensibilité "instantanée" par rapport à la variable déformation volumique plastique. Le cas simplifié ne met pas en jeux au cours de la compression simulée l'initiation et le développement de gradients de densité distincts par application de variations des paramètres plastiques. Les éléments finis simulent en moyenne des chemins de contrainte proches de la compression en matrice. Les éléments finis localisés à l'angle de la pièce et dans la jupe enregistrent cependant des histoires de déformation assez distinctes de la compression en matrice. Ces derniers éléments finis subissent en effet des chemins de contrainte nettement plus déviatoires en fin de compression ainsi que l'illustre la figure 7.7.5.

Figure 7.7.5: Chemin de contrainte dans le plan p-q au cours de la compression

Ces chemins déviatoires impliquent une activation du mécanisme lié à la droite de Drucker-Prager, ce mécanisme étant déterminé par les paramètres $d$ et $\beta$. Ces paramètres ont alors une influence sur la répartition de densité qui est pondérée par la proportion d'éléments finis impliqués. De plus, le coin intérieur de la pièce est en cisaillement en fin de compression (voir figure 6.3.6) ce qui explique l'influence de la cohésion et de l'angle de frottement interne en fin de compression. Ainsi, l'amplitude de ce type d'influence est en rapport direct avec la géométrie de la pièce et la cinématique de compression. Cette étude permet également de déterminer les intervalles de confiance pour les résultats de la simulation en fonction des incertitudes de mesures expérimentales. A titre d'exemple, des imprécisions de 10 % pour les paramètres plastiques et de 40% pour les paramètres élastiques sont considérées. Les erreurs majorées sur les résultats de la simulation peuvent être déduites, les valeurs de ces erreurs majorées sont présentées par la figure 7.7.6.

Figure 7.7.6: Erreur relative sur les résultats de simulation

Cette figure indique que les répartitions de densité souffrent d'une faible indétermination de l'ordre de 1.3%. En considérant l'erreur relative maximum sur les répartitions de densité et en l'appliquant aux résultats de la pièce E de Federal Mogul, on obtient les résultats illustrés par la figure 7.7.7. Un commentaire important consiste à rappeler que la validité de cette démarche requiert à la fois des valeurs de masses volumiques calculées et mesurées particulièrement précises.

Figure 7.7.7: Intervalle de confiance sur les masses volumiques simulées par rapport aux variations de mesures expérimentales

L'intervalle d'erreur sur les masses volumiques (induit par les fluctuations des données) est centré sur les résultats de simulation. Un fait remarquable à cette figure est que chaque intervalle ainsi positionné contient les valeurs issues des mesures expérimentales. Dans le même esprit, l'erreur maximum pour les forces est également associée aux résultats de la simulation de la pièce E. Le résultat est illustré sur la figure 7.7.8.

Figure 7.7.8: Intervalle de confiance sur les efforts simulées par rapport aux variations de mesures expérimentales

L'ensemble des efforts mesurés sont compris dans l'intervalle d'incertitude de la simulation numérique. Cependant, il apparaît que cet intervalle d'incertitude sur les efforts est particulièrement important par rapport aux valeurs même des mesures.