Schémas de résolution

La simulation de la compression des poudres doit prendre en compte trois facteurs principaux :

• les grands déplacements des outils qui, dans le cadre d'une description Lagrangienne, induisent de possibles distorsions très importantes du maillage,
• le frottement entre la poudre et les outils qui est l'une des causes de l'apparition des gradients de densité,
• l'évolution de la surface de plasticité, caractéristique de l'état du matériau, est déterminée par des fonctions non-linéaires de la densité.

La combinaison de ces trois facteurs induit une analyse et un traitement d'un problème fortement non-linéaire. Cette non-linéarité intervient à la fois aux niveaux de la géométrie, des déformations et du comportement du matériau. La méthode des éléments finis permet le traitement de ces non-linéarités. Dans cette partie, il est proposé un court exposé sur l'essence de cette méthode et sur les différentes façons de résoudre numériquement les équations posées par cette méthode. La méthode des éléments finis repose sur une discrétisation de l'espace et la résolution des équations d'équilibres (thermique, mécanique) en des points privilégiés de cet espace. Dans le cas du procédé de compression à froid, seul l'équilibre mécanique est à réaliser. Si l'on ne considère pas les moments volumiques, l'équilibre d'un corps peut se résumer à la somme des forces de volume et des forces de contact. Les forces de contact peuvent être exprimées en fonction du tenseur des contraintes de Cauchy. Le théorème de Gauss permet de réécrire une intégrale sur une surface en une intégrale sur un volume, permettant d'écrir qu'un corps est en équilibre s'il vérifie l'équation 5.2.1.

$$\left( \frac{\partial}{\partial \boldsymbol x} \right) \cdot \boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol f = 0 ,$$ (5.32.1)

où $\boldsymbol x$ est le champ des coordonnées dans la configuration actuelle, $\boldsymbol{\sigma}$ est le tenseur des contraintes de Cauchy et $\boldsymbol f$ est l'ensemble des forces de volume (accélération $\boldsymbol{\ddot{u}}$ et gravité $\boldsymbol g$ par exemple). L'équation 5.2.1 est approximée par un développement au premier ordre. Ceci est obtenu par le produit du terme de gauche par une fonction test définie et continue sur le volume puis intégré. Cette formulation dite "faible" (car du premier ordre) est identifiée au principe des travaux virtuels si la fonction test est un champ de vitesses virtuelles cinématiquement admissible. Ce principe est exprimé par l'équation 5.2.2.

$$\int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{D} dV = \int_S \... ...cdot\boldsymbol{t} dS + \int_V \delta \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{f} dV ,$$ (5.32.2)

avec $\boldsymbol t = \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \sigma$, $\delta \boldsymbol v$ le champ de vitesses virtuelles cinématiquement admissible et $\delta \boldsymbol D$ la partie symétrique du gradient associé à $\delta \boldsymbol v$

$$\delta \boldsymbol D = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \delta \b... ...frac{\partial \delta \boldsymbol v}{\partial \boldsymbol x} \right]^T \right).$$

L'espace de l'étude ayant été discrétisé en éléments finis, l'équation 5.2.2 doit être vérifiée localement pour chaque nud. Dans le cas général des problèmes non-stationnaires, il est nécessaire dans un premier temps de discrétiser le problème par rapport au temps puis de résoudre les systèmes d'équations non-linéaires (en général) résultants qui sont de la forme $F(u) = 0$, où $u$ représente les variables nodales. Dans la suite sont proposées des méthodes de résolution de ces systèmes.